Векторный анализ (Fytmkjudw gugln[)
Ве́кторный ана́лиз — раздел математики, распространяющий методы математического анализа на векторы, как правило в двух- или трёхмерном пространстве.
Сфера применения
[править | править код]Объектами приложения векторного анализа являются:
- Векторные поля — отображения одного векторного пространства в другое.
- Скалярные поля — функции на векторном пространстве.
Наибольшее применение векторный анализ находит в физике и инженерии. Основные преимущества векторных методов перед традиционными координатными:
- Компактность. Одно векторное уравнение объединяет несколько координатных, и его исследование чаще всего можно проводить непосредственно, не заменяя векторы на их координатную запись.
- Инвариантность. Векторное уравнение не зависит от системы координат и без труда переводится в координатную запись в любой удобной системе координат.
- Наглядность. Дифференциальные операторы векторного анализа и связывающие их соотношения обычно имеют простое и наглядное физическое истолкование.
Векторные операторы
[править | править код]Наиболее часто применяемые векторные операторы:
- Ротор и дивергенция — для векторных полей.
- Градиент — для скалярных полей.
- Лапласиан — для скалярных и векторных полей.
Оператор | Обозначение | Описание | Тип |
---|---|---|---|
Градиент | Определяет направление и скорость скорейшего возрастания скалярного поля. | Скаляр вектор | |
Дивергенция | Характеризует расходимость, источники и стоки векторного поля. | Вектор скаляр | |
Ротор | Характеризует вихревую составляющую векторного поля. | Вектор вектор | |
Лапласиан | Сочетание дивергенции с градиентом. | Скаляр скаляр | |
Лапласиан векторный | [1] | Вектор вектор |
Дифференциальные операции второго порядка
[править | править код]Скалярное поле | Векторное поле | ||
---|---|---|---|
Указанные операции называются дифференциальными операциями второго порядка по той причине, что они сводятся к двукратному дифференцированию скалярных или векторных функций (формально: в их символической записи оператор Гамильтона встречается два раза).[2]
Основные соотношения
[править | править код]Приведём сводку практически важных теорем многомерного анализа в векторной записи.
Теорема | Запись | Пояснения |
---|---|---|
Теорема о градиенте | Криволинейный интеграл от градиента скалярного поля равен разности значений поля в граничных точках кривой. | |
Теорема Грина | Криволинейный интеграл по замкнутому плоскому контуру может быть преобразован в двойной интеграл по области, ограниченной контуром. | |
Теорема Стокса | Поверхностный интеграл от ротора векторного поля равен циркуляции по границе этой поверхности. | |
Теорема Остроградского — Гаусса | Объёмный интеграл от дивергенции векторного поля равен потоку этого поля через граничную поверхность. |
Исторический очерк
[править | править код]Первым векторы ввёл У. Гамильтон в связи с открытием в 1843 г. кватернионов (как их трёхмерную мнимую часть). В двух монографиях (1853, 1866 посмертно) Гамильтон ввёл понятие вектора и вектор-функции, описал дифференциальный оператор («набла», 1846) и многие другие понятия векторного анализа. Он определил в качестве операций над новыми объектами скалярное и векторное произведения, которые для кватернионов получались чисто алгебраически (при обычном их умножении). Гамильтон ввёл также понятия коллинеарности и компланарности векторов, ориентации векторной тройки и др.
Компактность и инвариантность векторной символики, использованной в первых трудах Максвелла (1873), заинтересовали физиков; вскоре вышли «Элементы векторного анализа» Гиббса (1880-е годы), а затем Хевисайд (1903) придал векторному исчислению современный вид. Примечательно, что уже в работах Максвелла кватернионная терминология почти отсутствует, фактически заменённая на чисто векторную. Термин «векторный анализ» предложил Гиббс (1879) в своём курсе лекций.
См. также
[править | править код]Литература
[править | править код]- Александрова Н. В. Формирование основных понятий векторного исчисления. // Историко-математические исследования. — М.: Наука, 1982. — № 26. — С. 205—234.
- Борисенко А. И., Тарапов И. Е. Векторный анализ и начала тензорного исчисления. М.: Высшая школа, 1966, 251 с.
- Краснов М. Л., Кисилев А. И., Макаренко Г. И. Векторный анализ. Наука, 1978, 160 с. (2-ое изд. УРСС, 2002)
- Кумпяк Д. Е. Векторный и тензорный анализ. Архивная копия от 27 февраля 2014 на Wayback Machine Учебное пособие. Тверь: Тверской гос. университет, 2007, 158 с.
- Мак-Коннел А. Дж. Введение в тензорный анализ с приложениями к геометрии, механике и физике. Архивная копия от 27 февраля 2014 на Wayback Machine М.: Физматлит, 1963, 411 с.
- Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, том III. — М.: Наука, 1966.
- В.Г.Воднев, А.Ф.Наумович, Н.Ф.Наумович "Математический словарь высшей школы". Издательство МПИ 1984.
Примечания
[править | править код]- ↑ В.Г.Воднев, А.Ф.Наумович, Н.Ф.Наумович "Математический словарь высшей школы". Издательство МПИ 1984. Статья "Оператор Лапласа" и "Ротор векторного поля".
- ↑ В.Г.Воднев, А.Ф.Наумович, Н.Ф.Наумович "Математический словарь высшей школы". Издательство МПИ 1984. Статья "Дифференциальные операции второго порядка".
Ссылки
[править | править код]- Л. И. Коваленко, Элементы векторного анализа — МФТИ 2001 (pdf) Архивная копия от 23 мая 2006 на Wayback Machine
- Статья по векторному анализу на Astronet Архивная копия от 16 мая 2005 на Wayback Machine