Трапеция (Mjghyenx)
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/11/Trapezoid.svg/292px-Trapezoid.svg.png)
Трапе́ция (от др.-греч. τραπέζιον — «столик» от τράπεζα — «стол») — выпуклый четырёхугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие стороны не параллельны[1]. Часто в определении трапеции опускают последнее условие (см. ниже). Параллельные противоположные стороны называются основаниями трапеции, а две другие — боковыми сторонами. Средняя линия — отрезок, соединяющий середины боковых сторон.
Варианты определения
[править | править код]Существует и другое определение трапеции.
Трапеция — это выпуклый четырёхугольник, у которого две стороны параллельны[2][3]. Согласно этому определению, параллелограмм и прямоугольник — частные случаи трапеции. Однако при использовании такого определения большинство признаков и свойств равнобедренной трапеции перестают быть верными (так как параллелограмм становится её частным случаем). Приведённые в разделе Общие свойства формулы верны для обоих определений трапеции.
Связанные определения
[править | править код]Элементы трапеции
[править | править код]![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/fb/%D0%A2%D1%80%D0%B0%D0%BF%D0%B5%D1%86%D0%B8%D1%8F_%D0%B8_%D0%B4%D0%B8%D0%B0%D0%B3%D0%BE%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D0%B8.png/300px-%D0%A2%D1%80%D0%B0%D0%BF%D0%B5%D1%86%D0%B8%D1%8F_%D0%B8_%D0%B4%D0%B8%D0%B0%D0%B3%D0%BE%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D0%B8.png)
- Параллельные противоположные стороны называются основаниями трапеции.
- Две другие стороны называются боковыми сторонами.
- Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, называется средней линией трапеции.
- Углом при основании трапеции называется её внутренний угол, образованный основанием с боковой стороной.
Виды трапеций
[править | править код]- Трапеция, у которой боковые стороны равны, называется равнобедренной трапецией (реже равнобокой[4] или равнобочной[5] трапецией).
- Трапеция, имеющая прямые углы при боковой стороне, называется прямоугольной.
-
Равнобедренная трапеция
-
Прямоугольная трапеция
Свойства
[править | править код]- Сумма углов, прилежащих к боковой стороне трапеции, равна (по свойству секущей при параллельных прямых).
- Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.[7]
- Отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, равен половине разности оснований и лежит на средней линии.
- Отрезок, параллельный основаниям и проходящий через точку пересечения диагоналей, делится последней пополам и равен среднему гармоническому оснований трапеции.
- В трапецию можно вписать окружность, если сумма длин оснований трапеции равна сумме длин её боковых сторон.
- Точка пересечения диагоналей трапеции, точка пересечения продолжений её боковых сторон и середины оснований лежат на одной прямой.
- Если сумма углов при одном из оснований трапеции равна 90°, то продолжения боковых сторон пересекаются под прямым углом, а отрезок, соединяющий середины оснований, равен полуразности оснований.
- Диагонали трапеции делят её на 4 треугольника. Два из них, прилежащих к основаниям, подобны. Два других, прилежащих к боковым сторонам, являются равновеликими (имеют одинаковую площадь).
- Если отношение оснований равно , то отношение площадей треугольников, прилежащих к основаниям, равно .
- Высота трапеции определяется формулой:
- где — большее основание, — меньшее основание, и — боковые стороны.
- В случае равнобедренной трапеции эта формула упрощается до
- ,
- так как .
- Диагонали трапеции и связаны со сторонами соотношением:
- .
- Их можно выразить в явном виде:
- ;
- .
- Если, наоборот, известны боковые стороны и диагонали, то основания выражаются формулами:
- ;
- ;
- а при известных основаниях и диагоналях боковые стороны следующие:
- ;
- .
- Если же известна высота , то
- ;
- .
- Прямая Ньютона для трапеции совпадает с её средней линией.
- Длина отрезка , соединяющего середины оснований трапеции, может быть вычислена по формуле
.
- Если через точку пересечения диагоналей трапеции провести прямую, пересекающую основания, то точки пересечения её с основаниями — две из четырёх вершин параллелограмма, все вершины которого лежат на сторонах трапеции по одной на каждой из сторон указанной трапеции, а стороны параллельны диагоналям данной трапеции. Два отрезка между боковой стороной трапеции и диагональю трапеции, которые диагонали данной трапеции отсекают от диагонали указанного параллелограмма, соединяющей его вершины, лежащие на боковых сторонах трапеции, равны между собой.
Неравенства для отрезков в трапеции
[править | править код]- Неравенство для сторон трапеции — сумма боковых сторон больше модуля разности оснований трапеции, т. е. если — трапеция (), то выполняется неравенство: .
- Неравенство для диагоналей трапеции — сумма диагоналей больше суммы оснований трапеции, т. е. если — трапеция (), то выполняется неравенство: .
Равнобедренная трапеция
[править | править код]Трапеция является равнобедренной тогда и только тогда, когда выполнено любое из следующих эквивалентных условий:
- прямая, которая проходит через середины оснований, перпендикулярна основаниям (то есть является осью симметрии трапеции). Эквивалентно: отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции, взаимно перпендикулярны;
- высота, опущенная из вершины на большее основание, делит его на два отрезка, один из которых равен полусумме оснований, другой — полуразности оснований;
- углы при любом основании равны;
- сумма противоположных углов равна 180°;
- длины диагоналей равны;
- диагонали трапеции образовывают с одним и тем же основанием равные углы;
- из каждой вершины одного основания другое основание видно под одним и тем же углом[прояснить][8];
- вокруг этой трапеции можно описать окружность;
- вершинами этой трапеции также являются вершины некоторого антипараллелограмма.
Кроме того
- если в равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны, то высота равна полусумме оснований.
Если — равнобочная трапеция (, ), причём — диагональ трапеции, то .[9]
Вписанная и описанная окружность
[править | править код]![]() | В разделе не хватает ссылок на источники (см. рекомендации по поиску). |
- Если сумма оснований трапеции равна сумме боковых сторон, то в неё можно вписать окружность. Средняя линия в этом случае равна сумме боковых сторон, делённой на 2 (так как средняя линия трапеции равна полусумме оснований).
- В трапеции её боковая сторона видна из центра вписанной окружности под углом 90°.
- Если трапецию можно вписать в окружность — то она равнобедренная.
- Радиус описанной окружности равнобедренной трапеции:[источник не указан 3332 дня]
- ,
- где — боковая сторона, — бо́льшее основание, — меньшее основание, — диагонали равнобедренной трапеции.
- Если , то в равнобедренную трапецию можно вписать окружность радиуса
- .
- Если в трапецию вписана окружность с радиусом , и она делит боковую сторону точкой касания на два отрезка — и — то .
- Центр окружности, вписанной в трапецию, находится в точке пересечения высоты трапеции, проведённой через точку пересечения диагоналей трапеции, со средней линией трапеции.
- Боковые стороны описанной трапеции выражаются через основания и этой трапеции и радиус вписанной в неё окружности как
,
.
- Радиус вписанной в трапецию окружности выражается через длины и её оснований и угол между диагоналями описанной трапеции формулой
.
- Угол между диагоналями равнобедренной описанной трапеции c основаниями и можно найти, используя соотношение
.
- Радиус вписанной в трапецию (при условии, что трапеция — описанная) окружности может принимать у такой трапеции в принципе (описанная трапеция существует при этом) любое положительное значение, удовлетворяющее неравенству
,
где и — основания описанной трапеции; здесь равенство достигается тогда и только тогда, когда указанная описанная трапеция — равнобедренная.
- Для сторон описанной трапеции выполняется неравенство
.
- Длина отрезка, соединяющего точки касания вписанной окружности (у описанной трапеции) с каждой из двух боковых сторон трапеции, для описанной трапеции с длинами оснований и и радиусом вписанной окружности может быть вычислена по формуле
.
- Связь противоположных углов и описанной трапеции с длинами оснований и (см. рис. выше):
.
- Площадь описанной трапеции выражается через внутренние углы и при одном из оснований описанной трапеции и радиус вписанной в неё окружности формулой
.
- Угол между диагоналями описанной трапеции, содержащий во внутренней области боковую сторону описанной трапеции, удовлетворяет неравенству
,
где — отношение большего основания описанной трапеции к меньшему основанию этой описанной трапеции. Равенство здесь достигается тогда и только тогда, когда данная описанная трапеция является равнобедренной.
- Диаметр вписанной в прямоугольную трапецию окружности равен среднему гармоническому её оснований.
- Угол между диагоналями прямоугольной описанной трапеции с основаниями и можно найти, используя соотношение
.
- Угол между диагоналями прямоугольной описанной трапеции (содержащий во внутренней области боковую сторону данной трапеции) в каждом из возможных случаев такой трапеции принимает одно из значений интервала .
Площадь
[править | править код]- Здесь приведены формулы, свойственные именно трапеции. См. также формулы для площади произвольных четырёхугольников.
- В случае, если и — основания и — высота, формула площади:
- В случае, если — средняя линия и — высота, формула площади:
Примечание: Приведённые выше две формулы эквивалентны, так как полусумма оснований равняется средней линии трапеции:
- В случае, если известна средняя линия , боковая сторона и угол при этой стороне , то формула площади выглядит следующим образом:
Примечание: приведённая выше формула получается путём применения теоремы синусов на любом из двух треугольников, образовываемых высотами трапеции. Использование любого из двух углов, прилежащих к боковой стороне обусловлено тем, что .
- Формула, где — основания, и — боковые стороны трапеции:
- или
- Средняя линия разбивает фигуру на две трапеции, площади которых соотносятся как[10]
- По свойству треугольников и в трапеции :
- Площадь трапеции равна произведению одной из боковых сторон на длину перпендикуляра, проведённого из середины другой боковой стороны к прямой, содержащей первую боковую сторону.
Формулы площади равнобедренной трапеции
[править | править код]- Площадь равнобедренной трапеции с радиусом вписанной окружности, равным , и любым из углов трапеции :
- Площадь равнобедренной трапеции через диагональ , боковую сторону и угол при основании :
- .
- Площадь равнобедренной трапеции:
- ,
- где — боковая сторона, — бо́льшее основание, — меньшее основание, — угол между бо́льшим основанием и боковой стороной[11].
- Площадь равнобедренной трапеции через её стороны:
- Площадь равнобедренной трапеции, диагонали которой взаимно перпендикулярны, равна квадрату её высоты:
В этом случае средняя линия совпадает по длине с высотой трапеции, т. е. .
История
[править | править код]Слово «трапеция» происходит от греческого слова др.-греч. τραπέζιον «столик» (уменьш. от τράπεζα «стол»), означающего стол. В русском языке от этого слова происходит слово «трапеза» (еда).
Примечания
[править | править код]- ↑ Математический энциклопедический словарь. — М.: Советская энциклопедия, 1988. — С. 587.
- ↑ Вся элементарная математика . Дата обращения: 6 июля 2015. Архивировано 9 июля 2015 года.
- ↑ Wolfram MathWorld . Дата обращения: 6 июля 2015. Архивировано 19 апреля 2015 года.
- ↑ Коллектив авторов. Современный справочник школьника. 5-11 классы. Все предметы. — Litres, 2015-09-03. — С. 82. — 482 с. — ISBN 9785457410022.
- ↑ М. И. Сканави. Элементарная математика. — 2013. — С. 437. — 611 с. — ISBN 9785458254489.
- ↑ Четырёхугольники. Архивировано 16 сентября 2015 года.
- ↑ Геометрия по Киселёву Архивная копия от 1 марта 2021 на Wayback Machine, § 99.
- ↑ Следствие: в случае перпендикулярности диагоналей боковым сторонам трапеция является равнобедренной.
- ↑ Комарова В. В. Экзаменационные вопросы и ответы. Геометрия: 9 и 11 выпускные классы. — М.: АСТ-ПРЕСС, 2000. — 448 с. — ISBN 5-7805-0416-4.
- ↑ Зайцев В. В., Рыжков В. В., Сканави М. И. Элементарная математика. 2-е изд., перераб. и доп. — М.: Наука, 1974. — 592 с.
- ↑ Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов 1986. С. 184