Четырёхугольник Саккери (Cymdj~]rikl,unt Vgttyjn)
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/e1/Saccheri_quads-nolang.svg/220px-Saccheri_quads-nolang.svg.png)
Четырёхугольник Саккери — четырёхугольник с двумя равными боковыми сторонами, перпендикулярными основанию. Назван в честь Джироламо Саккери, который использовал его в своей книге «Евклид, очищенный от всех пятен» (Euclides ab omni naevo vindicatus, впервые опубликована в 1733 году). Саккери в этой работе попытался доказать пятый постулат, используя метод «от противного».
Ранее, в конце XI века, четырёхугольник Саккери был также рассмотрен Омаром Хайямом[1].
В четырёхугольнике Саккери стороны и равны по длине и перпендикулярны к основанию . Углы при и называются верхними углами, два остальных угла — нижними.
Полезное свойство четырёхугольника Саккери заключается в том, что тип содержащей его плоскости однозначно определяется ответом на всего лишь один вопрос:
- Являются ли верхние углы прямыми, тупыми или острыми?
Оказывается, когда верхние углы прямые, на плоскости выполняется пятый постулат, когда они острые, плоскость гиперболическая, а когда тупые, плоскость эллиптическая (при условии внесения некоторых дополнительных изменений в постулаты[2]).
Саккери надеялся, что случаи тупых и острых углов приводят к противоречию с аксиомами Евклида. Он показал это в случае тупых углов, и, как ему казалось, в случае острых тоже (что было заведомо неверно)[3].
История
[править | править код]Четырёхугольник Саккери был впервые рассмотрен Омаром Хайямом в конце XI века[1]. В отличие от многих до и после него, Хайям не пытался доказать пятый постулат как таковой, он опирался на эквивалентный постулат из «принципов философа» (Аристотель):
- Две сходящиеся прямые линии пересекаются, и невозможно, чтобы две сходящиеся прямые линии стали расходиться в направлении, в котором они ранее сходились[4].
Хайям рассмотрел все три возможности для верхних углов четырёхугольника Саккери и доказал ряд теорем. Он (правильно) опроверг тупые и острые случаи на основании его постулата и вывел отсюда классический постулат Евклида.
600 лет спустя Джордано Витале[англ.] использовал четырёхугольник Саккери в доказательстве того, что если три точки находятся на равном расстоянии от основания и верхней стороны , то и всюду лежат на одинаковом расстоянии.
Сам Саккери в своём длинном доказательстве постулата предположил, что верхние углы острые, после чего, сам того не подозревая, вывел отсюда много теорем геометрии Лобачевского. В конце книги он совершил ошибку и пришёл к мнимому противоречию, откуда заключил, что сумел доказать пятый постулат.
Свойства
[править | править код]Пусть — четырёхугольник Саккери с основанием . Следующие свойства верны в любой гиперболической геометрии[5]:
- Верхние углы ( и ) равны и являются острыми.
- Верхняя сторона длиннее основания.
- Отрезок, соединяющий середину основания и середину верхней стороны, перпендикулярен основанию и верхней стороне.
- Также этот отрезок делит четырёхугольник на два четырёхугольника Ламберта.
- Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, не перпендикулярен ни одной из сторон.
Формула
[править | править код]В гиперболической плоскости постоянной кривизны верхняя сторона в четырехугольнике Саккери может быть выражена через боковую сторону и основание с помощью формулы
Примеры
[править | править код]Гиперболическая плоскость допускает замощения некоторыми четырёхугольниками Саккери:
![]() Симметрия *3322 |
![]() Симметрия *∞∞22 |
См. также
[править | править код]- Четырёхугольник Ламберта — вариация четырёхугольника Саккери с тремя прямыми углами.
Примечания
[править | править код]- ↑ 1 2 Boris Abramovich Rozenfelʹd. A History of Non-Euclidean Geometry: Evolution of the Concept of a Geometric Space (англ.). — Abe Shenitzer translation. — Springer, 1988. — P. 65. — ISBN 0-387-96458-4.
- ↑ Coxeter, 1998, p. 11.
- ↑ Faber, 1983, p. 145.
- ↑ Boris A Rosenfeld, Adolf P Youschkevitch (1996), Geometry, p. 467 in Roshdi Rashed, Régis Morelon (1996), Encyclopedia of the history of Arabic science, Routledge, ISBN 0-415-12411-5.
- ↑ Faber, 1983, pp. 146-147.
- ↑ P. Buser and H. Karcher.
Литература
[править | править код]- Coxeter, H.S.M. (1998), Non-Euclidean Geometry (6th ed.), Washington, D.C.: Mathematical Association of America, ISBN 0-88385-522-4
- Faber, Richard L. (1983), Foundations of Euclidean and Non-Euclidean Geometry, New York: Marcel Dekker, ISBN 0-8247-1748-1
- M. J. Greenberg, Euclidean and Non-Euclidean Geometries: Development and History, 4th edition, W. H. Freeman, 2008.
- George E. Martin, The Foundations of Geometry and the Non-Euclidean Plane, Springer-Verlag, 1975