Короткая арифметика Гильберта (Tkjkmtgx gjnsbymntg Inl,Qyjmg)

Перейти к навигации Перейти к поиску

Короткая арифметика Гильберта — пример полугруппы, иллюстрирующий тот факт, что для доказательства основной теоремы арифметики необходимо использовать свойства не только умножения, но и сложения. Этот пример принадлежит Давиду Гильберту[1].

Определение

[править | править код]

Короткая арифметика Гильберта представляет собой множество чисел вида , где пробегает все натуральные числа[2]:

Иногда их называют числа Гильберта[3]. На этом множестве может быть корректно определена стандартная операция умножения, поскольку произведение двух чисел из множества дает вновь число из этого множества: . Таким образом, короткая арифметика Гильберта является полугруппой.

Простые числа Гильберта

[править | править код]

В арифметике Гильберта можно определить простые числа (простые числа Гильберта[a]) стандартным образом: число Гильберта называется простым Гильберта, если оно не делится на меньшее число Гильберта (отличное от )[5][6]. Последовательность простых Гильберта начинается так[7]:

Простое число Гильберта не обязательно является простым в обычном смысле. Например, является составным в натуральных числах, поскольку , однако оно является простым Гильберта, поскольку ни , ни (то есть все делители числа , отличные от и самого числа) не являются числами Гильберта. Из свойств умножения по модулю следует, что простое Гильберта является либо простым числом вида (такие числа называются простыми числами Пифагора), либо полупростым вида .

Невыполняемость основной теоремы арифметики

[править | править код]

Любое число Гильберта может быть разложено на произведение простых чисел Гильберта, однако для короткой арифметики Гильберта не выполняется основная теорема арифметики: такое разложение может быть не единственным. Например, является числом Гильберта, но разлагается на простых чисел Гильберта двумя способами:

.

где числа , и являются простыми Гильберта[1][4].

Примечания

[править | править код]

Комментарии

[править | править код]
  1. В учебнике Кострикина они названы квазипростыми числами[4].
  1. 1 2 Жиков В. В. Основная теорема арифметики // Соросовский образовательный журнал. — 2000. — Т. 6, № 3. — С. 113. Архивировано 23 ноября 2018 года.
  2. последовательность A016813 в OEIS
  3. Flannery S., Flannery D. In Code: A Mathematical Journey. — Profile Books, 2000. — С. 35.
  4. 1 2 Кострикин А. И. Введение в алгебру. — М.: Наука, 1977. — С. 72—73. — 496 с.
  5. Don Redmond. Number Theory: An Introduction to Pure and Applied Mathematics. — CRC Press, 1996-04-23. — С. 30. — 784 с.
  6. James J. Tattersall. Elementary Number Theory in Nine Chapters. — Cambridge University Press, 1999-10-14. — С. 84. — 420 с.
  7. последовательность A057948 в OEIS