Репью́ниты (англ. repunit , от repeated unit [ 1] натуральные числа
R
(
b
,
n
)
{\displaystyle R(b,n)}
b
>
1
{\displaystyle b>1}
R
n
{\displaystyle R_{n}}
R
1
=
1
{\displaystyle R_{1}=1}
R
2
=
11
{\displaystyle R_{2}=11}
R
3
=
111
{\displaystyle R_{3}=111}
R
n
=
10
n
−
1
9
,
n
=
1
,
2
,
3
,
…
{\displaystyle R_{n}={\frac {10^{n}-1}{9}},\quad n=1,2,3,\ldots }
Репьюниты являются частным случаем репдигитов .
(Простые числа в факторизациях, окрашенные в коричневый цвет , означают, что это новые простые числа в факторизациях R n R k k < n [ 2]
R 1 =1
R 2 =11
R 3 =3 · 37
R 4 =11 · 101
R 5 =41 · 271
R 6 =3 · 7 · 11 · 13 · 37
R 7 =239 · 4649
R 8 =11 · 73 · 101 · 137
R 9 =32 · 37 · 333667
R 10 =11 · 41 · 271 · 9091
R 11 =21649 · 513239
R 12 =3 · 7 · 11 · 13 · 37 · 101 · 9901
R 13 =53 · 79 · 265371653
R 14 =11 · 239 · 4649 · 909091
R 15 =3 · 31 · 37 · 41 · 271 · 2906161
R 16 =11 · 17 · 73 · 101 · 137 · 5882353
R 17 =2071723 · 5363222357
R 18 =32 · 7 · 11 · 13 · 19 · 37 · 52579 · 333667
R 19 =1111111111111111111
R 20 =11 · 41 · 101 · 271 · 3541 · 9091 · 27961
R 21 =3 · 37 · 43 · 239 · 1933 · 4649 · 10838689
R 22 =112 · 23 · 4093 · 8779 · 21649 · 513239
R 23 =11111111111111111111111
R 24 =3 · 7 · 11 · 13 · 37 · 73 · 101 · 137 · 9901 · 99990001
R 25 =41 · 271 · 21401 · 25601 · 182521213001
R 26 =11 · 53 · 79 · 859 · 265371653 · 1058313049
R 27 =33 · 37 · 757 · 333667 · 440334654777631
R 28 =11 · 29 · 101 · 239 · 281 · 4649 · 909091 · 121499449
R 29 =3191 · 16763 · 43037 · 62003 · 77843839397
R 30 =3 · 7 · 11 · 13 · 31 · 37 · 41 · 211 · 241 · 271 · 2161 · 9091 · 2906161
R 31 =2791 · 6943319 · 57336415063790604359
R 32 =11 · 17 · 73 · 101 · 137 · 353 · 449 · 641 · 1409 · 69857 · 5882353
R 33 =3 · 37 · 67 · 21649 · 513239 · 1344628210313298373
R 34 =11 · 103 · 4013 · 2071723 · 5363222357 · 21993833369
R 35 =41 · 71 · 239 · 271 · 4649 · 123551 · 102598800232111471
R 36 =32 · 7 · 11 · 13 · 19 · 37 · 101 · 9901 · 52579 · 333667 · 999999000001
R 37 =2028119 · 247629013 · 2212394296770203368013
R 38 =11 · 909090909090909091 · 1111111111111111111
R 39 =3 · 37 · 53 · 79 · 265371653 · 900900900900990990990991
R 40 =11 · 41 · 73 · 101 · 137 · 271 · 3541 · 9091 · 27961 · 1676321 · 5964848081
На 2022 год известно только 11 простых репьюнитов
R
n
{\displaystyle R_{n}}
n , равных[ 3] 2 , 19 , 23 , 317 , 1031, 49 081, 86 453, 109 297, 270 343, 5 794 777, 8 177 207 (последовательность A004023 в OEIS )Очевидно, что индексы простых репьюнитов также являются простыми числами. В результате умножения
R
i
⋅
R
j
{\displaystyle R_{i}\cdot R_{j}}
9
≥
i
≥
j
{\displaystyle 9\geq i\geq j}
палиндромическое число вида
(
12
…
j
…
21
)
{\displaystyle (12\ldots j\ldots 21)}
i
+
j
−
1
{\displaystyle i+j-1}
j
{\displaystyle j}
Репьюнит 11 111 111 111 111 111 111 является самопорождённым числом .
Всякое положительное кратное репьюнита
R
n
{\displaystyle R_{n}}
n ненулевых цифр.
Репьюнит как сумма последовательных квадратов. Число 1111 можно представить в виде суммы квадратов нескольких последовательных натуральных чисел:
1111
=
∑
n
=
11
16
n
2
{\displaystyle 1111=\sum \limits _{n=11}^{16}n^{2}}
В честь репьюнитов назван астероид (11111) Репьюнит , порядковый номер которого —
R
5
{\displaystyle R_{5}}
Yates S. The mystique of repunits — Math. Mag., 1978, 51, 22—28.
Ейтс С. Репьюниты и десятичные периоды — Мир, 1992.
Кордемский Б. На часок к семейке репьюнитов // Квант . — 1997. — № 5 . — С. 28—29 .Н. М. Карпушина. Вне формата. Занимательная математика: гимнастика для ума или искусство удивлять?. — М. : АНО Редакция журнала «Наука и жизнь», 2013. — С. 115, 132-149. — 288 с. — ISBN 978-5-904129-07-1 .
