Число Кэрола (Cnvlk Tzjklg)

Перейти к навигации Перейти к поиску

Число Кэрола — это целое вида .

Эквивалентная форма — .

Несколько первых чисел Кэрола:

−1, 7, 47, 223, 959, 3967, 16 127, 65 023, 261 119, 1 046 527 (последовательность A093112 в OEIS).

Числа Кэрола впервые изучены Клетусом Эммануэлем (Cletus Emmanuel), назвавшим числа именем своего друга — Кэрола Г. Кирнона (Carol G. Kirnon)[1][2].

Для n > 2 двоичное представление n-го числа Кэрола состоит из n − 2 последовательных единиц, единственного нуля и еще n + 1 последовательных единиц, или, в алгебраической форме,

Таким образом, например, 47 выглядит как 101111 в двоичном виде, а 223 как 11011111. Разница между 2nпростым числом Мерсенна и n-м числом Кэрола равна . Это даёт ещё одно эквивалентное выражение для чисел Кэрола, . Разница между nчислом Кайни и n-м числом Кэрола равна (n + 2)-й степени двух.

Начиная с 7 каждое третье число Кэрола делится на 7.

Таким образом, чтобы число Кэрола было простым числом, его индекс n не может иметь вид 3x + 2 для x > 0.

Первые несколько чисел Кэрола, являющихся также простыми числами:

7, 47, 223, 3967, 16 127 (A091516).

К июлю 2007 года наибольшее известное число Кэрола, являющееся простым, — число для n = 253 987, имеющее 152 916 знаков[3][4]. Оно найдено Клетусом Эммануэлем (Cletus Emmanuel) в мае 2007 года, используя программы MultiSieve и PrimeFormGW. Это 40-е простое Кэрола.

7-е число Кэрола и 5-е простое число Кэрола (16 127) является также простым, если переставить цифры в обратном порядке[5]. 12-е число Кэрола и 7-е простое Кэрола (16 769 023) имеет то же свойство[6].

Примечания

[править | править код]
  1. Cletus Emmanuel Архивная копия от 5 декабря 2020 на Wayback Machine at Prime Pages.
  2. Message to Yahoo primenumbers group Архивная копия от 3 июня 2011 на Wayback Machine from Cletus Emmanuel.
  3. 253987-е число Кэрола Архивная копия от 11 ноября 2012 на Wayback Machine на Prime Pages.
  4. Carol Primes and Kynea Primes Архивная копия от 25 августа 2020 на Wayback Machine by Steven Harvey.
  5. 16127 — статья из словаря интересных фактов о простых числах «Prime Curios!» (ISBN 978-1-4486-5170-2).
  6. 16769023 — статья из словаря интересных фактов о простых числах «Prime Curios!» (ISBN 978-1-4486-5170-2).