Квадратное пирамидальное число (Tfg;jgmuky hnjgbn;gl,uky cnvlk)
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/47/Square_pyramidal_number.svg/360px-Square_pyramidal_number.svg.png)
Квадра́тное пирамида́льное число́ (часто называемое просто пирамида́льным число́м) — пространственное фигурное число, представляющее пирамиду, с квадратным основанием. Квадратные пирамидальные числа также выражают количество квадратов со сторонами, параллельными осям координат, в решётке из N × N точек.
Начало последовательности:
- 1, 5, 14, 30, 55, 91, 140, 204, 285, 385, 506, 650, 819, 1015, 1240, 1496, 1785, 2109, 2470, 2870, … (последовательность A000330 в OEIS).
Формула
[править | править код]Общая формула для -го по порядку квадратного пирамидального числа:
Это частный случай формулы Фаулхабера[англ.], которую несложно доказать по индукции. Впервые равносильная формула была приведена в «Книге абака» Фибоначчи (XIII век).
В современной математике формализация фигурных чисел происходит с помощью многочленов Эрара. Многочлен Эрара L(P,t) многогранника P — многочлен, который подсчитывает количество целых точек в копии многогранника P, который увеличивается путём умножения всех его координат на число t. Многочлен Эрара пирамиды, основанием которой является квадрат со стороной 1 с целыми координатами, а вершина которой находится на высоте 1 над основанием, вычисляется по формуле[1]:
- (t + 1)(t + 2)(2t + 3)/6 = Pt + 1.
Производящая функция
[править | править код]Производящая функция для квадратных пирамидальных чисел имеет вид:
Связь с другими фигурными числами
[править | править код]Квадратные пирамидальные числа могут быть также выражены в виде суммы биномиальных коэффициентов:
Биномиальные коэффициенты, возникающие в этом представленном выражении, — это тетраэдральные числа. Эта формула выражает квадратные пирамидальные числа в виде суммы двух чисел, так же как любое квадратное число является суммой двух последовательных треугольных чисел. В этой сумме, одно из двух тетраэдрических чисел считает количество шаров в сложенной пирамиде, которые расположены выше или по одну сторону от диагонали квадратного основания пирамиды; а второе — расположенных по другую сторону диагонали. Квадратные пирамидальные числа также связаны с тетраэдральными следующим образом[2]:
Сумма двух последовательных квадратных пирамидальных чисел является октаэдрическим числом.
Проблема нахождения квадратных пирамидальных чисел, являющихся одновременно квадратными числами, известна как задача об укладке пушечных ядер и была сформулирована Люка (1875)[3].
Примечания
[править | править код]- ↑ Beck, M.; De Loera, J. A.; Develin, M.; Pfeifle, J.; Stanley, R. P. (2005), "Coefficients and roots of Ehrhart polynomials", Integer points in polyhedra—geometry, number theory, algebra, optimization, Contemp. Math., vol. 374, Providence, RI: Amer. Math. Soc., pp. 15—36, MR 2134759
- ↑ Деза Е., Деза М., 2016, с. 75.
- ↑ Édouard Lucas. Question 1180 // Nouv. Ann. Math. — 1875. — Вып. 14. — С. 336.
Литература
[править | править код]- Виленкин Н. Я., Шибасов Л. П. Шибасова 3. Ф. За страницами учебника математики: Арифметика. Алгебра. Геометрия. — М.: Просвещение, 1996. — С. 30. — 320 с. — ISBN 5-09-006575-6.
- Глейзер Г. И. История математики в школе. — М.: Просвещение, 1964. — 376 с.
- Деза Е., Деза М. Фигурные числа. — М.: МЦНМО, 2016. — 349 с. — ISBN 978-5-4439-2400-7.
Ссылки
[править | править код]- Фигурные числа Архивная копия от 23 ноября 2018 на Wayback Machine
- Weisstein, Eric W. Square Pyramidal Number (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
- Geometric Proof of the Tetrahedral Number Formula Архивная копия от 28 июля 2009 на Wayback Machine
- Abramowitz, M.; Stegun, I. A. (Eds.). Handbook of Mathematical Functions (неопр.). — National Bureau of Standards, Applied Math. Series 55, 1964. — С. 813. — ISBN 0486612724.