Дополнение узла (:khkluyuny r[lg)
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/6f/Figure_eight_knot_complement.jpg/250px-Figure_eight_knot_complement.jpg)
Дополнение узла — пространство, получающееся из шара вырезанием цилиндра, заузленного в форме этого узла.
Дополнение является важной конструкцией в теории узлов, связывающей её с трёхмерной топологией. Многие инварианты узлов, такие как группа узла, являются в действительности инвариантами их дополнений.
Определение
[править | править код]Дополнением ручного узла называют несколько тесно связанных между собой пространств. В простейшем случае имеется в виду теоретико-множественная разность , где — некоторый геометрический представитель данного узла.
Такое пространство обладает рядом недостатков[1], и чаще рассматривают разность , где — одноточечная компактификация трёхмерного евклидова пространства, то есть трёхмерная сфера.
Наконец, для возможности привлечения различных алгебро-топологических и аналитических инструментов, требующих компактности, в литературе дополнением узла обычно называют множество
- ,
где — открытая трубчатая окрестность геометрического узла [2].
Аналогично определяются дополнения зацеплений.
Несмотря на своё определение, пространство может быть вложено в , а именно, оно гомеоморфно пространству, получающемуся из шара вырезанием открытого цилиндра, заузленного в форме .
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a5/120-cell_two_orthogonal_rings.png/250px-120-cell_two_orthogonal_rings.png)
Примеры
[править | править код]Дополнение тривиального узла получается из шара вырезанием прямого цилиндра и гомеоморфно полноторию. Альтернативный взгляд на данный полноторий представлен на рисунке. Вместе с таким полноторием трубчатая окрестность тривиального узла образует простейшее разбиение Хегора трёхмерной сферы.
Внутренность дополнения узла трилистника гомеоморфна фактору вещественной специальной линейной группы по её дискретной подгруппе:
- .
Эта внутренность также гомотопически эквивалентна конфигурационному пространству трёхэлементных подмножеств плоскости, которое является шестимерным многообразием.
Свойства
[править | править код]Пространство является связным, компактным, неприводимым трёхмерным многообразием. Его внутренность гомеоморфна пространству . Его край, в свою очередь, гомеоморфен тору, поскольку совпадает с краем замыкания трубчатой окрестности , гомеоморфного полноторию. В отличие от , пространства и являются некомпактными трёхмерными многообразиями без края.
Дополнения узлов, а также зацеплений, являются многообразиями Хакена.
Фундаментальные группы пространств , и изоморфны и называются группой узла. Первая группа гомологий дополнения узла является бесконечной циклической и, как и для любого пространства, изоморфна абелианизации его фундаментальной группы:
- .
Она порождается образом любой меридианальной петли узла. Целое число, соответствующее гомологическому классу в замкнутой ориентированной кривой в , равно коэффициенту зацепления этой кривой с геометрическим узлом .
Поскольку пространство связно, имеется изоморфизм . Как и младшие группы гомологий, гомологии дополнения узла можно вычислить с помощью двойственности Александера:
В отличие от , относительная группа гомологий не тривиальна, а является бесконечной циклической, порождённой любой поверхностью Зейферта узла.
Как показал Христос Папакирьякопулос, высшие гомотопические группы пространства тривиальны, иными словами, дополнение любого узла является асферическим[3].
Теорема Гордона — Люке
[править | править код]Дополнения узла и его зеркального образа гомеоморфны. Теорема, доказанная Кэмероном Гордоном[англ.] и Джоном Люке[англ.], гласит, что это единственная возможность. А именно, дополнения двух ручных узлов гомеоморфны тогда и только тогда, когда они либо совпадают, либо являются зеркальными образами друг друга[4]. Таким образом, дополнение узла практически является его полным инвариантом.
Классификация Тёрстона
[править | править код]Согласно теореме о геометризации трёхмерных многообразий, если дополнение узла является аторическим[англ.], то на его внутренности можно ввести структуру одной из восьми трёхмерных геометрий.
Дополнения торических узлов являются аторическими многообразиями Зейферта. На их внутренностях можно ввести как геометрию универсального накрытия , так и произведения . Например, в случае трилистника геометрия с моделью может быть введена с помощью гомеоморфизма между внутренностью его дополнения и пространством .
Как следует из определения, дополнение узла не является аторическим в том и только в том случае, если узел является сателлитным. Согласно теореме о гиперболизации[англ.], доказанной Уильямом Тёрстоном, если узел не является сателлитным или торическим, то на внутренности его дополнения можно ввести геометрию гиперболического пространства , причем единственным образом. В связи с этим такие узлы называются гиперболическими.
Разбиение множества всех узлов на торические, сателлитные и гиперболические называется классификацией Тёрстона.
Примечания
[править | править код]- ↑ Например, в отличие от , пространство является неприводимым, то есть в нём любая топологическая сфера ограничивает шар.
- ↑ Существование такой трубчатой окрестности эквивалентно тому, что исходный узел является ручным.
- ↑ Papakyriakopoulos C.. On Dehn's lemma and asphericity of knots (англ.) // Annals of Mathematics. — 1957. — Vol. 66, no. 1. — P. 1–26. — doi:10.2307/1970113. — .
- ↑ Gordon C., Luecke J.. Knots are determined by their complements (англ.) // Bulletin of the American Mathematical Society. — 1989. — Vol. 20, no. 1. — P. 83—87. — doi:10.2307/1990979.