Скрученный узел (Vtjrcyuudw r[yl)

Перейти к навигации Перейти к поиску
Скрученный узел с шестью полуоборотами.

В теории узлов скрученный узел[1] — это узел, полученный в результате перекручивания замкнутой петли с последующим зацеплением концов (таким образом, скрученный узел — это любое двойное зацепление Уайтхеда[англ.] тривиального узла). Скрученные узлы являются бесконечным семейством узлов и считаются простейшим типом узлов после торических узлов.

Построение

[править | править код]

Скрученный узел получается путём зацепления двух концов скрученной петли. Любое число полуоборотов может быть сделано до зацепления, что даёт бесконечное семейство. Следующие фигуры показывают несколько первых скрученных узлов:

Узел грузчика в четыре полуоборота образуется путём (само-)зацепления одного конца петли, скрученной в два оборота, с другим концом петли.

Все скрученные узлы имеют число развязывания единица, поскольку узел можно развязать, разъединив два конца. Любой скрученный узел является также двухмостиковым[англ.][2]. Из всех скрученных узлов только тривиальный узел и узел грузчика являются срезанными[3]. Скрученный узел c полуоборотами имеет число пересечений . Все скрученные узлы являются обратимыми, но ахиральными скрученными узлами являются только тривиальный узел и восьмёрка.

Инварианты

[править | править код]

Инварианты скрученных узлов зависят от числа полуоборотов. Многочлен Александера скрученного узла задаётся формулой

для чётных n,
для нечётных n,

а многочлен Конвея равен

для чётных n,
для нечётных n.

Если нечётно, многочлен Джонса равен

при чётном же

Примечания

[править | править код]
  1. встречается также название твист узел
  2. Rolfsen, 2003, с. 114.
  3. Weisstein, Eric W. Twist Knot (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.

Литература

[править | править код]
  • Dale Rolfsen. Knots and links. — Providence, R. I.: AMS Chelsea Pub, 2003. — ISBN 0-8218-3436-3.