Трёхмерная топология (Mj~]byjugx mkhklkinx)
Трёхмерная топология — раздел топологии, посвященный изучению трёхмерных многообразий. Относится к маломерной топологии.
Введение
[править | править код]Многие математические явления в размерности три могут разительно отличаться от явлений в других размерностях. По этой причине в трёхмерной топологии преобладают довольно специализированные методы. Эта особенность привела к открытию тесных связей с множеством других областей, таких как теория узлов, геометрическая теория групп, гиперболическая геометрия, теория чисел, теория Тейхмюллера, топологическая квантовая теория поля[англ.], калибровочная теория[англ.], гомологии Флоера[англ.] и дифференциальные уравнения в частных производных.
Ключевой идеей трёхмерной топологии является рассмотрение поверхностей, вложенных в трехмерные многообразия. Такие поверхности можно привести в специальные положения, что порождает идею несжимаемости[англ.] и теорию многообразий Хакена. Кроме того, их дополнение можно выбрать как можно более красивым, что приводит, например, к разбиению Хегора, которое является полезным инструментом для описания многообразия. Также плодотворной идеей является рассмотрение вложенных в трехмерные многообразия двумерных полиэдров, которое приводит к теории спайнов.
Фундаментальные группы трехмерных многообразий отражают многие их геометрические и топологические свойства. Таким образом, наблюдается взаимодействие между теорией групп и топологическими методами.
В целом, вместе с фундаментальной группой стандартные топологические инварианты, такие как группы гомологий и когомологий, дают много информации о структуре трёхмерных многообразий. Кроме того, в трёхмерной топологии полезными оказываются и характеристики иной природы, например квантовые инварианты[англ.], такие как инварианты Тураева — Виро.
Во многих случаях на трёхмерных многообразиях можно ввести дополнительную структуру в виде одной из восьми модельных геометрий. Наиболее распространенной геометрией является гиперболическая. Часто оказывается плодотворным использование геометрии вместе с другими методами, таким как метод несжимаемых поверхностей.
Согласно теореме Мойза, в размерности три гладкие, топологические и кусочно-линейные[англ.] категории эквивалентны, поэтому обычно не заостряют внимание на разнице между топологическими, гладкими и кусочно-линейными трехмерными многообразиями, а также соответствующими типами отображений.
Основные результаты теории
[править | править код]Теорема Мойза
[править | править код]Теорема Мойза гласит, что в размерности три гладкие, топологические и кусочно-линейные[англ.] категории эквивалентны[1]. Доказана Эдвином Мойзом[англ.].
Из теоремы следует, что любое топологическое трёхмерное многообразие обладает единственными кусочно-линейной и гладкой структурами. В связи с этим в трёхмерной топологии обычно не заостряют внимание на разнице между топологическими, гладкими и кусочно-линейными многообразиями, а также соответствующими типами отображений.
Одним из следствий теоремы Мойза является возможность триангулировать произвольное трёхмерное многообразие. Наличие триангуляции, в свою очередь, гарантирует наличие разбиения Хегора у произвольного компактного трёхмерного многообразия.
Теорема о примарном разложении
[править | править код]Многообразие называется простым или примарным, если в любом его разложении в виде связной суммы двух многообразий одно из них является им самим, а второе — сферой той же самой размерности.
Теорема о примарном разложении для трёхмерных многообразий гласит, что любое компактное ориентируемое трёхмерное многообразие может быть единственным образом представлено в виде связной суммы простых. Доказана Хельмутом Кнезером[англ.] и Джоном Милнором.
Принцип конечности Кнезера — Хакена
[править | править код]Принцип конечности гласит, что для любого компактного трёхмерного многообразия существует такая константа, что любой набор из замкнутых, существенных, двусторонних поверхностей в нём, число которых превосходит эту константу, содержит параллельные элементы. Кроме того, если многообразие замкнуто, в качестве такой константы подойдёт удвоенное число тетраэдров в любой триангуляции многообразия.
Из данного принципа, в частности, следует существование примарного разложения для компактных трёхмерных многообразий.
Теорема доказана Хельмутом Кнезером[англ.] и Вольфгангом Хакеном.
Теоремы о петле и о сфере
[править | править код]Теоремой о петле называется утверждение об отображениях дисков в трёхмерные многообразия.
Первая её часть гласит, что если простая замкнутая кривая в крае трёхмерного многообразия ограничивает в этом многообразии диск с особенностями, то она ограничивает и вложенный, несингулярный диск[2]. Данное утверждение называется леммой Дена в честь предложившего его доказательство Макса Дена.
Вторая часть теоремы о петле, тесно связанная с первой, гласит, что если к краю ориентируемого многообразия можно прикоснуться диском с особенностями вдоль нестягиваемой по краю петли, то можно прикоснуться и вложенным диском с тем же свойством.
Данная теорема является полезным техническим инструментом в трёхмерной топологии. Например, из неё следует, что отличная от сферы и диска собственная ориентируемая поверхность в ориентируемом трёхмерном многообразии является несжимаемой тогда и только тогда, когда индуцированный вложением этой поверхности в многообразие гомоморфизм фундаментальных групп инъективен. Кроме того, из её первой части, то есть леммы Дена, следует, что если группа узла является бесконечной циклической, то такой узел тривиален.
Теорема о сфере предоставляет условия, при которых элемент второй гомотопической группы трёхмерного многообразия может быть представлен вложенной сферой.
Теоремы о петле и о сфере были доказаны Христосом Папакирьякопулосом в 1956 году.
Теоремы о кольце и о торе
[править | править код]Теорема о кольце гласит, что если две непересекающиеся простые замкнутые кривые на границе трёхмерного многообразия гомотопны, то они ограничивают собственно вложенное кольцо.
Многообразие называется неприводимым, если любая двумерная сфера в нём ограничивает шар по одну из сторон.
Теорема о торе гласит, что если компактное неприводимое трехмерное многообразие с непустым краем допускает негомотопное нулю отображение тора, то оно допускает существенное вложение либо тора, либо кольца[3].
Некоторые классы трёхмерных многообразий
[править | править код]- Граф многообразия[англ.]
- Многообразия Хакена
- Гомологические сферы
- Гиперболические многообразия[англ.]
- Расслоения на отрезки[англ.]
- Дополнения узлов и зацеплений
- Линзовое пространство
- Расслоения Зейферта, расслоения на окружности
- Сферические многообразия[англ.]
- Расслоения над окружностью[англ.] и торические расслоения[англ.]
См. также
[править | править код]Примечания
[править | править код]- ↑ Савельев, 2004, p. 10.
- ↑ Матвеев и Фоменко, 1998, с. 64.
- ↑ Feustel, Charles D (1976). "On the torus theorem and its applications". Transactions of the American Mathematical Society. 217: 1—43. doi:10.1090/s0002-9947-1976-0394666-3.
Литература
[править | править код]- Прасолов В. В., Сосинский А. Б. Узлы, зацепления, косы и трёхмерные многообразия. — М.: МЦНМО, 1997. — ISBN 5-900916-10-3.
- Матвеев С. В., Фоменко А. Т. Алгоритмические и компьютерные методы в трехмерной топологии. — М.: Наука, 1998. — ISBN 5-211-01743-9.
- Савельев Н. Н.. Лекции по топологии трехмерных многообразий. — МЦНМО, 2004. — 216 с. — ISBN 5-94057-118-2.
- Hempel, John (2004), 3-manifolds, Providence, RI: American Mathematical Society, doi:10.1090/chel/349, ISBN 0-8218-3695-1, MR 2098385
- Jaco, William H. (1980), Lectures on three-manifold topology, Providence, RI: American Mathematical Society, ISBN 0-8218-1693-4, MR 0565450
- Rolfsen, Dale (1976), Knots and Links, Providence, RI: American Mathematical Society, ISBN 0-914098-16-0, MR 1277811
- Bing, R. H. (1983), The Geometric Topology of 3-Manifolds, Colloquium Publications, vol. 40, Providence, RI: American Mathematical Society, pp. x+238, ISBN 0-8218-1040-5, MR 0928227
