Гомотопия (Ikbkmkhnx)

Гомото́пия — семейство непрерывных отображений $F_{t}\colon X\to Y,\;t\in [0,1]$ , непрерывно зависящих от параметра, более точно — непрерывное отображение $F\colon [0,1]\times X\to Y$ .

Связанные определения

Отображения $f,g\colon X\to Y$ $f,g\colon X\to Y$ называются гомотопными ( $g\sim f$ $g\sim f$ ), если существует гомотопия $f_{t}$ $f_{t}$ такая, что $f_{0}=f$ $f_{0}=f$ и $f_{1}=g$ $f_{1}=g$ .
- Это задаёт отношение эквивалентности между непрерывными отображениями $X\to Y$ .

Гомотопическая эквивалентность топологических пространств $X$ $X$ и $Y$ $Y$ — пара непрерывных отображений $f\colon X\to Y$ $f\colon X\to Y$ и $g\colon Y\to X$ $g\colon Y\to X$ такая, что $f\circ g\sim \operatorname {id} _{Y}$ $f\circ g\sim \operatorname {id} _{Y}$ и $g\circ f\sim \operatorname {id} _{X}$ $g\circ f\sim \operatorname {id} _{X}$ , здесь $\sim$ $\sim$ обозначает гомотопность отображений. В этом случае также говорят, что $X$ $X$ с $Y$ $Y$ имеют один гомотопический тип.
- Если $X$ и $Y$ гомеоморфны ( $X\simeq Y$ ), то они гомотопически эквивалентны; обратное в общем случае неверно.

Гомотопический инвариант — характеристика пространства, которая сохраняется при гомотопической эквивалентности топологических пространств; то есть если два пространства гомотопически эквиваленты, то они имеют одинаковую характеристику. Например: связность, фундаментальная группа, эйлерова характеристика.
Если на некотором подмножестве $A\subset X,\;F(t,a)=f(a)$ для всех $t$ при $a\in A$ , то $F$ называется гомотопией относительно $A$ , а $f$ и $g$ — гомотопными относительно $A$ .
Отображение, гомотопное постоянному, то есть отображению в точку, называют стягиваемым, или гомотопным нулю.

Вариации и обобщения

Изотопия — гомотопия топологического пространства $X$ по топологическому пространству $Y$ $f_{t}\colon X\to Y,\;t\in [0,1]$ , в которой при любом $t$ отображение $f_{t}$ является гомеоморфизмом $X$ на $f_{t}(X)\subset Y$ .
Отображение $f\colon X\to Y$ называется слабой гомотопической эквивалентностью, если оно индуцирует изоморфизм гомотопических групп. Подпространство $A$ топологического пространства $X$ такое, что включение $A\subset X$ является слабой гомотопической эквивалентностью, называется репрезентативным подпространством.
Если $\varphi :E\to X$ и $\varphi ':E'\to X$ есть произвольные расслоения над $X,$ то гомотопия $f_{t}:E\to E'$ называется послойной, если $\varphi 'f_{t}=\varphi .$ Морфизмы $f,g:E\to E'$ послойно гомотопны, если существует послойная гомотопия $f_{t}:E\to E',$ для которой выполняются равенства $f_{0}=f$ и $f_{1}=g.$ Морфизм $f:E\to E'$ — послойная гомотопическая эквивалентность, если существует морфизм $g:E'\to E$ такой, что $gf$ и $fg$ послойно гомотопны $\mathrm {Id} .$ Расслоения $E$ и $E'$ принадлежат к одному и тому же послойному гомотопическому типу, если существует хотя бы одна послойная эквивалентность $f:E\to E'.$

См. также

Литература

Васильев В. А. Введение в топологию. — М.: ФАЗИС, 1997. — 132 с. — ISBN 5-7036-0036-7.
Рохлин В. А., Фукс Д. Б. Начальный курс топологии. Геометрические главы. — М.: Наука, 1977
Спеньер Э. Алгебраическая топология. — М.: Мир, 1971

Топология
Разделы	Теоретико-множественная Маломерная двумерная трёхмерная четырёхмерная Дифференциальная Геометрическая^[англ.] теория узлов теория кос Комбинаторная Гомотопическая Алгебраическая Алгоритмическая
Основные понятия	Метрическое пространство Топологическое пространство Гомеоморфизм Симплициальный комплекс CW-комплекс Вложение Путь петля Гомотопия ретракция изотопия объемлющая изотопия Расслоение Пучок
Многообразия	Поверхность Трёхмерное многообразие Ориентация Связная сумма Разложение на ручки Слоение Бордизм Коэффициент зацепления Степень отображения
Топологические инварианты	Связность Компактность Эйлерова характеристика Первая группа гомологий Первая группа когомологий Числа Бетти Размерность Фундаментальная группа Конфигурационное пространство Группа классов отображений Когомологии Гомотопические группы