Первая группа когомологий (Hyjfgx ijrhhg tkikbklkinw)

Перейти к навигации Перейти к поиску

Первая группа когомологий топологического пространства — абелева группа, состоящая из аддитивных целозначных функций на первой группе гомологий этого пространства. Она является простейшим вариантом групп когомологий[англ.] — одного из центральных понятий теории гомологий и алгебраической топологии.

Определение

[править | править код]

Первой группой когомологий[1] топологического пространства называется группа гомоморфизмов

,

где  — его первая группа гомологий.

Первая группа когомологий компактного пространства является конечно порождённой. Она тривиальна тогда и только тогда, когда первая группа гомологий этого пространства конечна.

Первые группы когомологий гомеоморфных или гомотопически эквивалентных пространств изоморфны.

Функториальность

[править | править код]

Сопоставление продолжается до функтора из категории топологических пространств в категорию абелевых групп, причем контравариантного. А именно, каждому непрерывному отображению сопоставляется гомоморфизм , где образ гомоморфизма определяется правилом

,

где символ обозначает гомологический класс одномерного цикла .

Иными словами, данный функтор является композицией ковариантного функтора первой группы гомологий и контравариантного hom-функтора, представленного группой .

Если два отображения гомотопны, то они индуцируют одинаковые гомоморфизмы первых групп когомологий: . В связи с этим сопоставление продолжается до контравариантного функтора из гомотопической категории[англ.] в категорию абелевых групп.

Связь с фундаментальной группой

[править | править код]

Если линейно связно, его первая группа гомологий изоморфна абелианизации его фундаментальной группы. В этом случае, согласно универсальному свойству абелианизации, имеется изоморфизм групп гомоморфизмов:

.

Связь с отображениями в окружность

[править | править код]

Каждое непрерывное отображение индуцирует гомоморфизм фундаментальных групп:

.

Следовательно, если пространство линейно связно, оно определяет элемент первой группы когомологий: . Поскольку гомотопные отображения индуцируют одинаковые гомоморфизмы, данная конструкция задаёт функцию

из множества гомотопических классов отображений в первую группу когомологий пространства . Она биективна, поскольку для окружности, как и для любого пространства Эйленберга-Маклейна, подобная конструкция осуществляет взаимно-однозначное соответствие[2] между гомотопическими классами отображений и гомоморфизмами .

Имеется следующее описание прообраза сложения из первой группы когомологий в множестве гомотопических классов. Для определим отображение правилом

,

где  — стандартная групповая операция на окружности. Тогда .

Примечания

[править | править код]
  1. Viro et al., 2008, Chapter XIII. One-Dimensional Homology.
  2. Хатчер, 2011, §1.B. Пространство и граф групп.

Литература

[править | править код]
  • Хатчер А. Алгебраическая топология. — М.: МЦНМО, 2011. — 689 с. — ISBN 978-5-940-57-748-5.
  • Viro O. Ya., Ivanov O. A., Netsvetaev N. Y., Kharlamov V. M.. Elementary Topology. Textbook in Problems = Элементарная топология (англ.). — American Mathematical Society, 2008. — 490 p. — ISBN 0821845063.