Параметризация Вейерштрасса — Эннепера минимальных поверхностей — классический раздел дифференциальной геометрии .
Альфред Эннепер и Карл Вейерштрасс изучали минимальные поверхности ещё в 1863 году.
Параметризация Вейерштрасса позволяет построение периодических минимальных поверхностей Пусть
f
{\displaystyle f}
g
{\displaystyle g}
функциями на полной комплексной плоскости или на единичном диске, где
g
{\displaystyle g}
мероморфной , а
f
{\displaystyle f}
голоморфной и пусть
c
1
,
c
2
,
c
3
{\displaystyle c_{1},c_{2},c_{3}}
g
{\displaystyle g}
m
{\displaystyle m}
f
{\displaystyle f}
2
m
{\displaystyle 2m}
f
g
2
{\displaystyle fg^{2}}
голоморфной функцией ). Тогда поверхность с координатами
(
x
1
,
x
2
,
x
3
)
{\displaystyle (x_{1},x_{2},x_{3})}
x
k
{\displaystyle x_{k}}
интеграла :
x
k
(
ζ
)
=
R
e
{
∫
0
ζ
φ
k
(
z
)
d
z
}
+
c
k
,
k
=
1
,
2
,
3
φ
1
=
f
(
1
−
g
2
)
/
2
φ
2
=
i
f
(
1
+
g
2
)
/
2
φ
3
=
f
g
{\displaystyle {\begin{aligned}x_{k}(\zeta )&{}=\mathrm {Re} \left\{\int _{0}^{\zeta }\varphi _{k}(z)\,dz\right\}+c_{k},\qquad k=1,2,3\\\varphi _{1}&{}=f(1-g^{2})/2\\\varphi _{2}&{}=\mathbf {i} f(1+g^{2})/2\\\varphi _{3}&{}=fg\end{aligned}}}
Более того, любая непланарная минимальная поверхность, параметризованная односвязной областью может быть параметризована таким образом[ 1]
Например, поверхность Эннепера имеет параметризацию
f
(
z
)
=
1
,
g
(
z
)
=
z
m
{\displaystyle f(z)=1,g(z)=z^{m}}
Модель Вейерштрасса — Эннепера определяет минимальную поверхность
X
{\displaystyle X}
R
3
{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
ω
=
u
+
v
i
{\displaystyle \omega =u+vi}
u
v
{\displaystyle uv}
матрица Якоби поверхности может быть записана как столбец с комплексными элементами:
J
=
[
(
1
−
g
2
(
ω
)
)
f
(
ω
)
i
(
1
+
g
2
(
ω
)
)
f
(
ω
)
2
g
(
ω
)
f
(
ω
)
]
{\displaystyle \mathbf {J} ={\begin{bmatrix}\left(1-g^{2}(\omega )\right)f(\omega )\\i\left(1+g^{2}(\omega )\right)f(\omega )\\2g(\omega )f(\omega )\end{bmatrix}}}
Здесь
f
(
ω
)
{\displaystyle f(\omega )}
g
(
ω
)
{\displaystyle g(\omega )}
ω
{\displaystyle \omega }
Якобиан
J
{\displaystyle \mathbf {J} }
[ 2]
X
u
=
[
Re
J
1
Re
J
2
Re
J
3
]
X
v
=
[
−
Im
J
1
−
Im
J
2
−
Im
J
3
]
{\displaystyle \mathbf {X_{u}} ={\begin{bmatrix}\operatorname {Re} \mathbf {J} _{1}\\\operatorname {Re} \mathbf {J} _{2}\\\operatorname {Re} \mathbf {J} _{3}\end{bmatrix}}\;\;\;\;\mathbf {X_{v}} ={\begin{bmatrix}-\operatorname {Im} \mathbf {J} _{1}\\-\operatorname {Im} \mathbf {J} _{2}\\-\operatorname {Im} \mathbf {J} _{3}\end{bmatrix}}}
Нормаль к поверхности задаётся выражением:
n
^
=
X
u
×
X
v
|
X
u
×
X
v
|
=
1
|
g
|
2
+
1
[
2
Re
g
2
Im
g
|
g
|
2
−
1
]
{\displaystyle \mathbf {\hat {n}} ={\frac {\mathbf {X_{u}} \times \mathbf {X_{v}} }{|\mathbf {X_{u}} \times \mathbf {X_{v}} |}}={\frac {1}{|g|^{2}+1}}{\begin{bmatrix}2\operatorname {Re} g\\2\operatorname {Im} g\\|g|^{2}-1\end{bmatrix}}}
Якобиан
J
{\displaystyle \mathbf {J} }
X
u
⋅
X
v
=
0
{\displaystyle \mathbf {X_{u}} \cdot \mathbf {X_{v}} =0}
X
u
2
=
Re
(
J
2
)
{\displaystyle \mathbf {X_{u}} ^{2}=\operatorname {Re} (\mathbf {J} ^{2})}
X
v
2
=
Im
(
J
2
)
{\displaystyle \mathbf {X_{v}} ^{2}=\operatorname {Im} (\mathbf {J} ^{2})}
X
u
u
+
X
v
v
=
0.
{\displaystyle \mathbf {X_{uu}} +\mathbf {X_{vv}} =0.}
[ 3] первой квадратичной формы :
[
X
u
⋅
X
u
X
u
⋅
X
v
X
v
⋅
X
u
X
v
⋅
X
v
]
=
[
1
0
0
1
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbf {X_{u}} \cdot \mathbf {X_{u}} &\;\;\mathbf {X_{u}} \cdot \mathbf {X_{v}} \\\mathbf {X_{v}} \cdot \mathbf {X_{u}} &\;\;\mathbf {X_{v}} \cdot \mathbf {X_{v}} \end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}}
и матрицы второй квадратичной формы
[
X
u
u
⋅
n
^
X
u
v
⋅
n
^
X
v
u
⋅
n
^
X
v
v
⋅
n
^
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbf {X_{uu}} \cdot \mathbf {\hat {n}} &\;\;\mathbf {X_{uv}} \cdot \mathbf {\hat {n}} \\\mathbf {X_{vu}} \cdot \mathbf {\hat {n}} &\;\;\mathbf {X_{vv}} \cdot \mathbf {\hat {n}} \end{bmatrix}}}
Наконец, точка
ω
t
{\displaystyle \omega _{t}}
X
{\displaystyle \mathbf {X} }
R
3
{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}
X
=
[
Re
∫
ω
0
ω
t
J
1
d
ω
Re
∫
ω
0
ω
t
J
2
d
ω
Re
∫
ω
0
ω
t
J
3
d
ω
]
{\displaystyle \mathbf {X} ={\begin{bmatrix}\operatorname {Re} \int _{\omega _{0}}^{\omega _{t}}\mathbf {J} _{1}d\omega \\\operatorname {Re} \int _{\omega _{0}}^{\omega _{t}}\mathbf {J} _{2}d\omega \\\operatorname {Re} \int _{\omega _{0}}^{\omega _{t}}\mathbf {J} _{3}d\omega \end{bmatrix}}}
где
ω
0
=
0
{\displaystyle \omega _{0}=0}
минимальной поверхности Коста [англ.]
ω
0
=
(
1
+
i
)
/
2
{\displaystyle \omega _{0}=(1+i)/2}
Классические примеры вложенных минимальных поверхностей в
R
3
{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}
катеноид , геликоид и минимальную поверхность Коста [англ.] эллиптическую функцию Вейерштрасса
℘
{\displaystyle \wp }
[ 4]
g
(
ω
)
=
A
℘
′
(
ω
)
{\displaystyle g(\omega )={\frac {A}{\wp '(\omega )}}}
f
(
ω
)
=
℘
(
ω
)
{\displaystyle f(\omega )=\wp (\omega )}
Здесь
A
{\displaystyle A}
[ 5]
Выбрав функции
f
(
ω
)
=
e
−
i
α
e
ω
/
A
{\displaystyle f(\omega )=e^{-i\alpha }e^{\omega /A}}
g
(
ω
)
=
e
−
ω
/
A
{\displaystyle g(\omega )=e^{-\omega /A}}
φ
1
=
e
−
i
α
sinh
(
ω
A
)
{\displaystyle \varphi _{1}=e^{-i\alpha }\sinh \left({\frac {\omega }{A}}\right)}
φ
2
=
i
e
−
i
α
cosh
(
ω
A
)
{\displaystyle \varphi _{2}=ie^{-i\alpha }\cosh \left({\frac {\omega }{A}}\right)}
φ
3
=
e
−
i
α
{\displaystyle \varphi _{3}=e^{-i\alpha }}
X
(
ω
)
=
Re
[
e
−
i
α
A
cosh
(
ω
A
)
i
e
−
i
α
A
sinh
(
ω
A
)
e
−
i
α
ω
]
=
cos
(
α
)
[
A
cosh
(
Re
(
ω
)
A
)
cos
(
Im
(
ω
)
A
)
−
A
cosh
(
Re
(
ω
)
A
)
sin
(
Im
(
ω
)
A
)
Re
(
ω
)
]
+
sin
(
α
)
[
A
sinh
(
Re
(
ω
)
A
)
sin
(
Im
(
ω
)
A
)
A
sinh
(
Re
(
ω
)
A
)
cos
(
Im
(
ω
)
A
)
Im
(
ω
)
]
{\displaystyle \mathbf {X} (\omega )=\operatorname {Re} {\begin{bmatrix}e^{-i\alpha }A\cosh \left({\frac {\omega }{A}}\right)\\ie^{-i\alpha }A\sinh \left({\frac {\omega }{A}}\right)\\e^{-i\alpha }\omega \\\end{bmatrix}}=\cos(\alpha ){\begin{bmatrix}A\cosh \left({\frac {\operatorname {Re} (\omega )}{A}}\right)\cos \left({\frac {\operatorname {Im} (\omega )}{A}}\right)\\-A\cosh \left({\frac {\operatorname {Re} (\omega )}{A}}\right)\sin \left({\frac {\operatorname {Im} (\omega )}{A}}\right)\\\operatorname {Re} (\omega )\\\end{bmatrix}}+\sin(\alpha ){\begin{bmatrix}A\sinh \left({\frac {\operatorname {Re} (\omega )}{A}}\right)\sin \left({\frac {\operatorname {Im} (\omega )}{A}}\right)\\A\sinh \left({\frac {\operatorname {Re} (\omega )}{A}}\right)\cos \left({\frac {\operatorname {Im} (\omega )}{A}}\right)\\\operatorname {Im} (\omega )\\\end{bmatrix}}}
Выберем параметры поверхности
ω
=
s
+
i
(
A
ϕ
)
{\displaystyle \omega =s+i(A\phi )}
X
(
s
,
ϕ
)
=
cos
(
α
)
[
A
cosh
(
s
A
)
cos
(
ϕ
)
−
A
cosh
(
s
A
)
sin
(
ϕ
)
s
]
+
sin
(
α
)
[
A
sinh
(
s
A
)
sin
(
ϕ
)
A
sinh
(
s
A
)
cos
(
ϕ
)
A
ϕ
]
{\displaystyle \mathbf {X} (s,\phi )=\cos(\alpha ){\begin{bmatrix}A\cosh \left({\frac {s}{A}}\right)\cos \left(\phi \right)\\-A\cosh \left({\frac {s}{A}}\right)\sin \left(\phi \right)\\s\\\end{bmatrix}}+\sin(\alpha ){\begin{bmatrix}A\sinh \left({\frac {s}{A}}\right)\sin \left(\phi \right)\\A\sinh \left({\frac {s}{A}}\right)\cos \left(\phi \right)\\A\phi \\\end{bmatrix}}}
В экстремальных точках поверхность является катеноидом
(
α
=
0
)
{\displaystyle (\alpha =0)}
(
α
=
π
/
2
)
{\displaystyle (\alpha =\pi /2)}
α
{\displaystyle \alpha }
X
3
{\displaystyle \mathbf {X} _{3}}
Цепочка, стягивающая периодические точки спирали и поворачиваемая вдоль спирали для образования минимальной поверхности. Фундаментальная область (C) и 3D поверхности. Непрерывные поверхности состоят из копий основного фрагмента (R3) Можно переписать каждый элемент второй фундаментальной матрицы в виде функций от
f
{\displaystyle f}
g
{\displaystyle g}
X
u
u
⋅
n
^
=
1
|
g
|
2
+
1
[
Re
(
(
1
−
g
2
)
f
′
−
2
g
f
g
′
)
Re
(
(
1
+
g
2
)
f
′
i
+
2
g
f
g
′
i
)
Re
(
2
g
f
′
+
2
f
g
′
)
]
⋅
[
Re
(
2
g
)
Re
(
−
2
g
i
)
Re
(
|
g
|
2
−
1
)
]
=
−
2
Re
(
f
g
′
)
{\displaystyle \mathbf {X_{uu}} \cdot \mathbf {\hat {n}} ={\frac {1}{|g|^{2}+1}}{\begin{bmatrix}\operatorname {Re} \left((1-g^{2})f'-2gfg'\right)\\\operatorname {Re} \left((1+g^{2})f'i+2gfg'i\right)\\\operatorname {Re} \left(2gf'+2fg'\right)\\\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}\operatorname {Re} \left(2g\right)\\\operatorname {Re} \left(-2gi\right)\\\operatorname {Re} \left(|g|^{2}-1\right)\\\end{bmatrix}}=-2\operatorname {Re} (fg')}
А следовательно, вторая фундаментальная форма может быть упрощена:
[
−
Re
f
g
′
Im
f
g
′
Im
f
g
′
Re
f
g
′
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}-\operatorname {Re} fg'&\;\;\operatorname {Im} fg'\\\operatorname {Im} fg'&\;\;\operatorname {Re} fg'\end{bmatrix}}}
Линии кривизны образуют четырёхугольные области Одним из собственных векторов матрицы является:
f
g
′
¯
{\displaystyle {\overline {\sqrt {fg'}}}}
он представляет главное направление в комплексной области[ 6]
u
v
{\displaystyle uv}
ϕ
=
−
1
2
A
r
g
(
f
g
′
)
±
k
π
/
2
{\displaystyle \phi =-{\frac {1}{2}}Arg(fg')\pm k\pi /2}
↑ Dierkes, Hildebrandt, Küster, Wohlrab, 1992 , с. 108.↑ Andersson, Hyde, Larsson, Lidin, 1988 , с. 221–242.↑ Sharma, 2012 .↑ Lawden, 2011 .↑ Abbena, Salamon, Gray, 2006 , с. 719–766.↑ Hua, Jia, 2018 , с. 985–995.
Dierkes U., Hildebrandt S., Küster A., Wohlrab O. Minimal surfaces. — Springer, 1992. — Т. I. — ISBN 3-540-53169-6 .Andersson S., Hyde S. T., Larsson K., Lidin S. Minimal Surfaces and Structures: From Inorganic and Metal Crystals to Cell Membranes and Biopolymers // Chem. Rev.. — 1988. — Т. 88 , вып. 1 . — doi :10.1021/cr00083a011 .Sharma R. The Weierstrass Representation always gives a minimal surface. — 2012.Lawden D. F. Elliptic Functions and Applications. — Berlin: Springer, 2011. — Т. 80. — (Applied Mathematical Sciences). — ISBN 978-1-4419-3090-3 .Abbena E., Salamon S., Gray A. Minimal Surfaces via Complex Variables // Modern Differential Geometry of Curves and Surfaces with Mathematica. — Boca Raton: CRC Press, 2006. — ISBN 1-58488-448-7 .Hua H., Jia T. Wire cut of double-sided minimal surfaces // The Visual Computer. — 2018. — Т. 34 , вып. 6–8 . — doi :10.1007/s00371-018-1548-0 .
.jpg)
_and_the_3D_surfaces._The_continuous_surfaces_are_made_of_copies_of_the_fundamental_patch_(R3).jpg)
