Вторая квадратичная форма (Fmkjgx tfg;jgmncugx skjbg)
Вторая квадратичная форма (или вторая фундаментальная форма) поверхности ― квадратичная форма на касательном расслоении поверхности, которая, в отличие от первой квадратичной формы, определяет внешнюю геометрию поверхности в окрестности данной точки.
Вторая квадратичная форма часто обозначается , а её компоненты традиционно обозначаются , и .
Знание первой и второй квадратичных форм достаточно для вычисления главных кривизн, средней и гауссовой кривизн поверхности.
Определение
[править | править код]Пусть в трёхмерном евклидовом пространстве со скалярным произведением поверхность задана уравнением где и ― внутренние координаты на поверхности; ― дифференциал радиус-вектора вдоль выбранного направления смещения из точки в бесконечно близкую точку ; — нормальный вектор к поверхности в точке . Тогда вторая квадратичная форма имеет вид
где коэффициенты определяются формулами:
где обозначает смешанное произведение векторов и ― коэффициенты первой квадратичной формы поверхности.
Связанные определения
[править | править код]- Оператор формы или оператор Вайнгартена линейный оператор на касательной плоскости определяемый как
- где — поле единичных нормалей к поверхности. Оператор формы связан с второй квадратичной формой следующим соотношением:
- Собственные значения оператора формы называются главными кривизнами поверхности в точке, а собственные направления оператора формы называются главными направлениями поверхности в точке.
- Кривые на поверхности, идущие в главных направлениях называются линиями кривизны.
- Нормальная кривизна по направлению вычисляется по формуле
- где — первая квадратичная форма.
- Направление с нулевой нормальной кривизной называется асимптотическим, а кривая на поверхности идущая в асимптотическом направлении называется асимптотической кривой.
Вычисление
[править | править код]График функции
[править | править код]В частном случае, когда поверхность представляет собой график функции в трёхмерном евклидовом пространстве с коэффициентами , коэффициенты второй квадратичной формы принимают вид:
Вариации и обобщения
[править | править код]Гиперповерхности
[править | править код]Рассмотрим гиперповерхность в m-мерном евклидовом пространстве со скалярным произведением . Пусть — локальная карта поверхности в точке .
Тогда коэффициенты второй квадратичной формы вычисляется по формуле
где обозначает единичный вектор нормали.
Бо́льшая коразмерность
[править | править код]Вторая фундаментальная форма определяется также и для подмногообразий произвольной коразмерности.[1][2]
где обозначает проекцию ковариантной производной на нормальное пространство.
В этом случае вторая фундаментальная форма является билинейной формой на касательном пространстве со значениями в нормальном пространстве. Оператор формы зависит от нормального вектора и определяется через следующее соотношение:
Для подмногообразий евклидова пространства тензор кривизны подмногообразия может быть посчитан с помощью так называемой формулы Гаусса:
Для подмногообразий риманова многообразия следует добавить кривизну объемлющего пространства; если многообразие вложено в риманово многообразие тогда тензор кривизны многообразия снабжённого индуцированой метрикой задаётся второй фундаментальной формой и тензором кривизны объемлющего многообразия :
По теореме Картана[3][4], вторая квадратичная форма для вложения плоского -мерного многообразия в -мерное Евклидово пространство либо вырождена, то есть существует ненулевой касательный вектор такой, что
для любого касательного вектора , либо она представляется в следующем виде:
где — ортонормированный базис в нормальном пространстве и — линейно независимые линейные функции на касательном пространстве.
В частности, вторая квадратичная форма вложения плоского -мерного многообразия в Евклидово пространство размерности меньше является вырожденной.
См. также
[править | править код]- Первая квадратичная форма
- Третья квадратичная форма
- Уравнения Петерсона ― Кодацци — полный набор соотношений для первой и второй квадратичной формы поверхности.
Примечания
[править | править код]- ↑ c. 128 в M. do Carmo, Riemannian Geometry, Birkhäuser, 1992
- ↑ M. Dajczer and R. Tojeiro. Submanifold theory. Universitext. Beyond an introduction. Springer, New York, 2019
- ↑ E. Cartan. “Sur les variétés de courbure constante d’un espace euclidien ou non-euclidien”. Bull. Soc. Math. France 47 (1919), 125–160.
- ↑ J. D. Moore. “Isometric immersions of space forms in space forms”. Pacific J. Math. 40 (1972), 157–166.
Литература
[править | править код]- Мищенко А.С. Фоменко А.Т. Курс дифференциальной геометрии и топологии. — Физматлит, 2004. — ISBN 5-9221-0442-X.
- Топоногов В.А. Дифференциальная геометрия кривых и поверхностей. — Физматкнига, 2012. — ISBN 9785891552135.