Поверхность Шерка (Hkfyj]ukvm, Oyjtg)
Поверхность Шерка (названа именем Генриха Шерка) является примером минимальной поверхности. Шерк описал две полные вложенные минимальные поверхности в 1834 году[1]. Его первая поверхность является дважды периодической поверхностью, а вторая — просто периодической. Они были третьим нетривиальным примером минимальных поверхностей (первые две — катеноид и геликоид)[2]. Две поверхности сопряжены друг другу.
Поверхности Шерка возникают при изучении некоторых задач о минимальных поверхностях и изучении гармонических диффеоморфизмов гиперболического пространства.
Первая поверхность Шерка
[править | править код]Первая поверхность Шерка асимптотически стремится к двум бесконечным семействам параллельных плоскостей, ортогональных друг другу. Поверхности образуют близ z = 0 арки мостов в шахматном порядке. Поверхность содержит бесконечное число прямых вертикальных линий.
Построение простой поверхности Шерка
[править | править код]Рассмотрим следующую минимальную поверхность на квадрате на евклидовой плоскости: для натурального числа n найти минимальную поверхность как график некоторой функции
так что
- для
- для
То есть, un удовлетворяет уравнению минимальной поверхности
и
Что будет с поверхностью при стремлении n к бесконечности? Ответ дал Х. Шерк в 1834 году: предельная поверхность является графиком функции
То есть поверхность Шерка над квадратом равна
Более общие поверхности Шерка
[править | править код]Можно рассмотреть похожие задачи с минимальными поверхностями на других четырёхугольниках на евклидовой плоскости. Можно также рассмотреть ту же задачу на четырёхугольниках на гиперболической плоскости. В 2006 году Гарольд Розенберг и Паскаль Коллин использовали гиперболические поверхности Шерка для построения гармонического диффеоморфизма из комплексной плоскости в гиперболическую плоскость (единичный диск с гиперболической метрикой), опровергая тем самым гипотезу гипотеза Шёна — Яу[англ.].
Вторая поверхность Шерка
[править | править код]Вторая поверхность Шерка глобально выглядит как две ортогональные плоскости, пересечение которых состоит из последовательности туннелей в чередующихся направлениях. Их пересечения с горизонтальными плоскостями состоит из чередующихся гипербол.
Поверхность задаётся уравнением:
Поверхность имеет Параметризация Вейерштрасса — Эннепера , и может быть параметризована как[3]:
для и . Это даёт один период поверхности, который может быть распространён в z-направлении симметрией.
Поверхность обобщил Х. Кархер в семейство сёдл пилона[англ.] периодических минимальных поверхностей.
В литературе по ошибке эту поверхность называют пятой поверхностью Шерка[4][5]. Чтобы исключить путаницу, полезно упоминать поверхность как поверхность Шерка одного периода или как башню Шерка.
Примечания
[править | править код]- ↑ Scherk, 1835, с. 185–208.
- ↑ Heinrich Scherk (1798 - 1885) - Biography - MacTutor History of Mathematics . Дата обращения: 16 июля 2020. Архивировано 3 ноября 2019 года.
- ↑ Weisstein, 2002.
- ↑ Kapuoleas, 2001, с. 499.
- ↑ Hoffman, Meeks, 1990.
Литература
[править | править код]- Scherk H.F. Bemerkungen über die kleinste Fläche innerhalb gegebener Grenzen // Journal für die reine und angewandte Mathematik. — 1835. — Т. 13.
- Nikolaos Kapuoleas. Constructions of minimal surfaces by glueing minimal immersions // Global Theory of Minimal Surfaces: Proceedings of the Clay Mathematics Institute 2001 Summer School, Mathematical Sciences Research Institute, Berkeley, California, June 25-July 27. — 2001.
- David Hoffman, William H. Meeks. Limits of minimal surfaces and Scherk's Fifth Surface // Archive for rational mechanics and analysis. — 1990. — Т. 111.
- Eric W. Weisstein. CRC Concise Encyclopedia of Mathematics // 2nd ed.. — CRC press, 2002.
Ссылки
[править | править код]- Sabitov, I.Kh. (2001), "Scherk_surface", in Hazewinkel, Michiel (ed.), Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4
- Scherk's first surface in MSRI Geometry [1]
- Scherk's second surface in MSRI Geometry [2]
- Scherk's minimal surfaces in Mathworld [3] Архивная копия от 21 февраля 2020 на Wayback Machine
Для улучшения этой статьи желательно:
|