Хаусдорфово пространство (}grv;kjskfk hjkvmjguvmfk)
Хаусдорфово пространство — топологическое пространство, удовлетворяющее сильной аксиоме отделимости T2.
Названо в честь Феликса Хаусдорфа — одного из основоположников общей топологии. Его первоначальное определение топологического пространства включало в себя требование, которое теперь называется хаусдорфовостью.
Иногда для обозначения структуры хаусдорфового топологического пространства на множестве применяется термин хаусдорфова топология.
Определение[править | править код]
Топологическое пространство Невозможно разобрать выражение (SVG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://localhost:6011/ru.wikipedia.org/v1/»:): {\displaystyle X} называется хаусдорфовым, если любые две различные точки Невозможно разобрать выражение (SVG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://localhost:6011/ru.wikipedia.org/v1/»:): {\displaystyle x} , Невозможно разобрать выражение (SVG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://localhost:6011/ru.wikipedia.org/v1/»:): {\displaystyle y} из Невозможно разобрать выражение (SVG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://localhost:6011/ru.wikipedia.org/v1/»:): {\displaystyle X} обладают непересекающимися окрестностями Невозможно разобрать выражение (SVG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://localhost:6011/ru.wikipedia.org/v1/»:): {\displaystyle U(x)} , Невозможно разобрать выражение (SVG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://localhost:6011/ru.wikipedia.org/v1/»:): {\displaystyle V(y)} .
Примеры и контрпримеры[править | править код]
Хаусдорфовыми являются все метрические пространства и метризуемые пространства, в частности: евклидовы пространства Невозможно разобрать выражение (SVG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://localhost:6011/ru.wikipedia.org/v1/»:): {\displaystyle \R^n} , многообразия, большинство используемых в анализе бесконечномерных функциональных пространств, таких, как Невозможно разобрать выражение (SVG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://localhost:6011/ru.wikipedia.org/v1/»:): {\displaystyle L^p\ } или Невозможно разобрать выражение (SVG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://localhost:6011/ru.wikipedia.org/v1/»:): {\displaystyle W^{1,\;p}} , Невозможно разобрать выражение (SVG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://localhost:6011/ru.wikipedia.org/v1/»:): {\displaystyle p\geqslant 1\ } .
Если топологическая группа является T0-пространством, то она хаусдорфова. Если T0 не выполнено, то факторизация по замыканию нейтрального элемента группы даст хаусдорфово пространство[1]. По этой причине некоторые источники включают хаусдорфовость в определение топологической группы.
Простейший (и важный) пример нехаусдорфова пространства — связное двоеточие, а в более общем случае — алгебры Гейтинга . Не является хаусдорфовой, например, топология Зарисского на алгебраическом многообразии. Нехаусдорфов, вообще говоря, спектр кольца.
Свойства[править | править код]
- Единственность предела последовательности (в более общем случае — фильтра), если таковой предел существует.
- Свойство, равносильное определению хаусдорфовости топологии, — замкнутость диагонали Невозможно разобрать выражение (SVG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://localhost:6011/ru.wikipedia.org/v1/»:): {\displaystyle \Delta=\{(x,\;x)\;|\;x\in X\}} в декартовом квадрате Невозможно разобрать выражение (SVG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://localhost:6011/ru.wikipedia.org/v1/»:): {\displaystyle X\times X} пространства Невозможно разобрать выражение (SVG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://localhost:6011/ru.wikipedia.org/v1/»:): {\displaystyle X} .
- В хаусдорфовом пространстве замкнуты все его точки (то есть одноточечные множества).
- Подпространство и декартово произведение хаусдорфовых пространств тоже хаусдорфовы.
- Вообще говоря, хаусдорфовость не передаётся факторпространствам.
- Компактное хаусдорфово пространство нормально и оно метризуемо тогда и только тогда, когда имеет счётную базу топологии.
- Любое непрерывное взаимно однозначное отображение компактного пространства в хаусдорфово пространство является гомеоморфизмом.
- Любое конечное хаусдорфово пространство дискретно.
Примечания[править | править код]
- ↑ D. Ramakrishnan and R. Valenza. Fourier Analysis on Number Fields. — Springer-Verlag, 1999. — (Graduate Texts in Mathematics).
Литература[править | править код]
- Александров П. С. Введение в теорию множеств и общую топологию. — 2-е, стереотипное. — М.: Лань, 2010. — 368 с. — ISBN 978-5-8114-0981-5.
Для улучшения этой статьи желательно:
|