G₂ (G₂)

G₂ в математике — название трёх простых групп Ли (комплексной, вещественной компактной и вещественной разделённой), связанной с ними алгебры Ли ${\mathfrak {g}}_{2}$, а также нескольких алгебраических групп. Являются наименьшими из пяти исключительных простых групп Ли, рангом 2 и размерностью 14, с точными нетривиальными конечномерными линейными представлениями. Всего G₂ имеет два фундаментальных представления размерностью 7 и 14, первое из которых отвечает короткому корню системы корней G₂.

Компактная форма G₂ является группой автоморфизмов алгебры октонионов (октав), или подгруппой группы SO(7), оставляющей на месте фиксированный 8-мерный спинор (в её спинорном представлении).

Реализации

Существуют 3 простые вещественные алгебры Ли, ассоционированные с данной системой корней:

• Лежащая в основе комплексной алгебры Ли G₂ сугубо действительная алгебра Ли 28-мерна и односвязна. Комплексное сопряжение является её внешним автоморфизмом. Максимальная компактная подгруппа ассоциированной с этой алгеброй группы и есть компактная форма G₂.
• Алгебра Ли в компактной форме имеет размерность 14. Ассоциированная группа Ли не имеет внешних автоморфизмов, центра и является односвязной и компактной.
• Алгебра Ли в некомпактной (разделённой) форме содержит 14 измерений. Ассоциированная простая группа Ли имеет фундаментальную группу 2 порядка, а её группа внешних автоморфизмов — тривиальная группа. Её максимальная компактная подгруппа — SU(2)×SU(2)/(−1×−1). Для данной группы существует неалгебраическая двойная универсальная накрывающая группа (односвязная).

Алгебраические свойства

Схема Дынкина

Система корней G₂

Несмотря на то, что корневые векторы можно разместить в 2-мерном пространстве, более симметричным выглядит их выражение тремя координатами, сумма которых равна нулю:

(1,−1,0), (−1,1,0)

(1,0,−1), (−1,0,1),

(0,1,−1), (0,−1,1),

(2,−1,−1), (−2,1,1),

(1,−2,1), (−1,2,−1),

(1,1,−2), (−1,−1,2),

и простые положительные корневые вектора

(0,1,−1), (1,−2,1).

Группа Вейля/Коксетера

Для алгебры G₂ это — группа диэдра D₁₂ 12 порядка.

Матрица Картана

${\begin{pmatrix}2&-3\\-1&2\end{pmatrix}}$

Специальные голономии

G₂ — одна из тех специальных групп, которые могут быть группами голономии римановой метрики. Многообразия, обладающие G₂-голономией, называются G₂-многообразиями.

Ссылки

• John Baez, The Octonions, Section 4.1: G₂, Bull. Amer. Math. Soc. 39 (2002), 145—205. Онлайн HTML версия.