Группа Янко J2 (Ijrhhg Xutk J2)

Группа Янко J₂, группа Холла — Янко (HJ) или группа Холла — Янко — Уэллса — это спорадическая группа порядка

   2⁷ · 3³ · 5² · 7 = 604800.

История и свойства

J₂ — это одна из 26 спорадических групп. Другое название — группа Холла — Янко — Уэллса. В 1969 Звонимир Янко предсказал J₂ как одну из двух простых групп, имеющих 2¹⁺⁴:A₅ в качестве централизатора инволюции (вторая — группа Янко J₃). Группу построили Холл и Уэллс как группу перестановок ранга 3 100 точек.

Как мультипликатор Шура, так и группа внешних автоморфизмов имеют порядок 2.

J₂ является единственной из 4 групп Янко, являющейся подфактором монстра, так что группа является частью семейства, которое Роберт Грисс назвал счастливым. Поскольку группа обнаружена в группе Конвея Co1, она является также частью второго счастливого семейства.

Представления

J₂ является подгруппой с индексом два группы автоморфизмов графа Холла — Янко, что ведёт к перестановочному представлению порядка 100. Группа является подгруппой с индексом два группы автоморфизмов почти восьмиугольника Холла — Янко что ведёт к перестановочному представлению порядка 315.

Группа имеет модулярное представление размерности шесть над полем из четырёх элементов. Если при характеристике два мы имеем w² + w + 1 = 0, то J₂ генерируется двумя матрицами

${\mathbf {A} }=\left({\begin{matrix}w^{2}&w^{2}&0&0&0&0\\1&w^{2}&0&0&0&0\\1&1&w^{2}&w^{2}&0&0\\w&1&1&w^{2}&0&0\\0&w^{2}&w^{2}&w^{2}&0&w\\w^{2}&1&w^{2}&0&w^{2}&0\end{matrix}}\right)$

и

${\mathbf {B} }=\left({\begin{matrix}w&1&w^{2}&1&w^{2}&w^{2}\\w&1&w&1&1&w\\w&w&w^{2}&w^{2}&1&0\\0&0&0&0&1&1\\w^{2}&1&w^{2}&w^{2}&w&w^{2}\\w^{2}&1&w^{2}&w&w^{2}&w\end{matrix}}\right).$

Эти матрицы удовлетворяют уравнениям

${\mathbf {A} }^{2}={\mathbf {B} }^{3}=({\mathbf {A} }{\mathbf {B} })^{7}=({\mathbf {A} }{\mathbf {B} }{\mathbf {A} }{\mathbf {B} }{\mathbf {B} })^{12}=1.$

J₂ является группой Гурвица, конечным гомеоморфным образом группы треугольника (2,3,7).

Матричное представление, данное выше, формирует вложение в группу Диксона G₂(4). Имеется два класса смежности в G₂(4) и они эквивалентны по автоморфизму поля F₄. Их пересечение («действительная» подгруппа) является простой группой порядка 6048. G₂(4), в свою очередь, изоморфна подгруппе группе Конвея Co₁.

Максимальные подгруппы

Имеется 9 классов смежности максимальных подгрупп группы J₂. Некоторые описанные здесь в терминах действия на графе Холла — Янко.

• U₃(3) порядка 6048 – одноточечный стабилизатор с орбитами 36 и 63.

Простая группа, содержащая 36 простых подгрупп порядка 168 и 63 инволюций, все являются смежными классами, действующими на 80 точек. Указанные инволюции обнаруживаются в 12 168-подгрупп. Её централизатор имеет структуру 4.S₄, которая содержит 6 дополнительных инволюций.

• 3.PGL(2,9) порядка 2160 — имеет подфактор A₆
• 2¹⁺⁴:A₅ порядка 1920 — централизатор инволюции, действующей на 80 точек
• 2²⁺⁴:(3 × S₃) порядка 1152
• A₄ × A₅ порядка 720.

Содержит 2² × A₅ (порядка 240), централизатор 3 инволюций, каждая действует на 100 точках

• A₅ × D₁₀ порядка 600
• PGL(2,7) порядка 336
• 5²:D₁₂ порядка 300
• A₅ порядка 60

Классы сопряжённости

Максимальный порядок любого элемента не превосходит 15. Как перестановки, элементы действуют на 100 вершинах графа Холла — Янко.

Порядок	Элементов	Структура циклов и классов смежности
1 = 1	1 = 1	1 класс
2 = 2	315 = 32 • 5 • 7	240, 1 класс
	2520 = 23 • 32 • 5 • 7	250, 1 класс
3 = 3	560 = 24 • 5 • 7	330, 1 класс
	16800 = 25 • 3 • 52 • 7	332, 1 класс
4 = 22	6300 = 22 • 32 • 52 • 7	26420, 1 class
5 = 5	4032 = 26 • 32 • 7	520, 2 класса
	24192 = 27 • 33 • 7	520, 2 класса
6 = 2 • 3	25200 = 24 • 32 • 52 • 7	2436612, 1 класс
	50400 = 25 • 32 • 52 • 7	22616, 1 класс
7 = 7	86400 = 27 • 33 • 52	714, 1 класс
8 = 23	75600 = 24 • 33 • 52 • 7	2343810, 1 класс
10 = 2 • 5	60480 = 26 • 33 • 5 • 7	1010, 2 класса
	120960 = 27 • 33 • 5 • 7	54108, 2 класса
12 = 22 • 3	50400 = 25 • 32 • 52 • 7	324262126, 1 класс
15 = 3 • 5	80640 = 28 • 32 • 5 • 7	52156, 2 класса

Ссылки

• MathWorld: Janko Groups Архивная копия от 5 сентября 2017 на Wayback Machine
• Atlas of Finite Group Representations: J₂
• The subgroup lattice of J₂