Алгоритм Тодда — Коксетера (Glikjnmb Mk;;g — Tktvymyjg)
В теории групп, алгоритм Тодда — Коксетера, найденный Дж. А. Тоддом и Г. Коксетером в 1936 году, является алгоритмом для решения проблемы перечисления смежных классов. Для конкретных задания группы и подгруппы в , алгоритм перечисляет смежные классы по и описывает представление перестановками на пространстве смежных классов.
Если порядок группы является относительно небольшим, и подгруппа является несложной (например, циклическая группа), то алгоритм может быть выполнен вручную и дает удобное описание группы . Используя свой алгоритм, Коксетер и Тодд показали, что конкретные системы соотношений между порождающими элементами некоторых известных групп полны, то есть составляют систему определяющих соотношений.
Алгоритм Тодда-Коксетера может быть применен к бесконечным группам и завершается после конечного числа шагов при условии, что индекс в конечен. С другой стороны, в общем случае для пары, состоящей из задания группы и подгруппы, количество его шагов не ограничено никакой вычислимой функцией индекса подгруппы и размера данных.
Описание алгоритма
[править | править код]Эта статья должна быть полностью переписана. |
Выполнение алгоритма проходит следующим образом. Предположим это , где — множество образующих, — множество соотношений. Множество образующих и их инверсий обозначим . Пусть где — элементы . Есть три типа матриц, которые будут использоваться: смежный класс матриц, матрицы соотношения для каждого соотношения в , и матрицы подгруппы для каждого множества образующих от . Информация постепенно добавляется к этим матрицам, и как только они будут заполнены, все смежные классы будут перечислены, и алгоритм закончится. Смежный класс матриц используется, чтобы хранить соотношения между известными смежными классами при умножении множеством образующих. Это имеет ряды, представляющие смежные классы и колонки для каждого элемента . Пусть обозначает смежные классы -го ряда смежных классов матриц, и пусть обозначает множество образующих -й колонки. Ввод смежных классов матриц последователен, и определены так, чтобы было (если известно) , где — такое, что . Соотношения матриц используются, чтобы обнаружить, когда некоторые из смежных классов, которые мы нашли, фактически эквивалентны. Выполняется: одно соотношение матриц для каждого соотношения в . Пусть — соотношение в , где gni ОX' . матриц соотношения имеет ряды, представляющие смежных классов H, как в смежных классов матриц. Это имеет колонки, и ввод в -м ряду и -й колонке определен, чтобы быть (если известно) , где Ck=Cig1g2…gj. В частности i-й вход — первоначально i, пока . Наконец, матрицы подгруппы подобны матрицам соотношения, за исключением того, что они держат след возможных соотношений множества образующих H. Для каждого множества образующих hn=gn1gn2…gnt из H, с gniOH', мы создаем матрицу подгруппы. Это имеет только один ряд, соответствуя смежным классам H непосредственно. Это имеет t колонки, и вход в j-й колонке определен (если известно), чтобы быть k, где . Когда ряд соотношения или матриц подгруппы закончен, новая информация найдена. Это известно как вычитание. От вычитания, мы можем быть в состоянии заполнить в дополнительных записях соотношения и матриц подгруппы, приводя к возможному дополнительному вычитанию. Мы можем заполниться в записях смежных классах матриц, соответствующего уравнениям и . Однако, заполняясь в смежных классах матриц, возможно, что мы можем уже иметь ввод для уравнения, но ввод имеет различную ценность. В этом случае, мы обнаружили, что два из наших смежных классов — фактически то же самое, известные как совпадение. Предположим , с . Мы заменяем все случаи j в матриц с i. Тогда, мы заполняем во всех возможных записях матриц, возможно приводя к большему количеству вычитания и совпадений. Если есть пустые записи в матрице после всего вычитания, и о совпадениях заботились, добавляем новый смежный класс к матрице и повторяем процесс. Мы удостоверяемся, что, добавляя смежный класс, если Hx — известный смежный класс, то Hxg будет добавлен в некоторый момент для всех . (Это необходимо, чтобы гарантировать, что алгоритм закончится обеспеченный конечен.) Когда все матрицы заполнены, алгоритм заканчивается. Мы получили всю информацию о действии G на смежные классы H.
Литература
[править | править код]- J.A. Todd, H.S.M. Coxeter, A practical method for enumerating cosets of a finite abstract group. Proc. Edinb. Math. Soc., II. Ser. 5, 26-34 (1936). Zbl 0015.10103, JFM 62.1094.02
- H.S.M. Coxeter, W.O.J. Moser, Generators and relations for discrete groups. Fourth edition. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete [Results in Mathematics and Related Areas], 14. Springer-Verlag, Berlin-New York, 1980. ix+169 pp. ISBN 3-540-09212-9 MR0562913
- Г. С. М. Коксетер, У. О. Дж. Мозер Порождающие элементы и определяющие соотношения дискретных групп. — М., Наука, 1980, — 240 с.
- Seress, A. «An Introduction to Computational Group Theory» Notices of the AMS, June/July 1997.