Преобразование Фурье на группах (HjykQjg[kfguny Srj,y ug ijrhhg])
Преобразование Фурье на группах — обобщение дискретного преобразования Фурье от циклических к локально компактным абелевым группам или произвольным компактным группам.
Вспомогательные понятия
[править | править код]- Конечномерное представление группы — это отображение из в группу обратимых линейных преобразований векторного пространства , такое что для любых
- Другими словами, — гомоморфизм групп и .
- Представление называется унитарным если , где — группа унитарных преобразований пространства .
- Представления и называются эквивалентными если переход от одного к другому может быть осуществлён равномерной сменой базиса, то есть если есть преобразование такое что для любого
- Представление называется подпредставлением представления если — подпространство и для любых и
- Другими словами, является инвариантным подпространством и — сужение на .
- Представление называется неприводимым если у него нет подпредставлений, кроме него самого и подпредставления, отображающего в нульмерное подпространство.
- Двойственным множеством называется полное множество неэквивалентных неприводимых унитарных представлений .
Определение
[править | править код]Преобразование Фурье функции определяется как матричная функция такая что
В таких обозначения, обратное преобразование записывается в виде
- где — размерность линейного пространства, преобразования которого задаёт .
Мотивировка
[править | править код]В непрерывном случае преобразование Фурье квадратично интегрируемой функции соответствует разложению по ортонормированному базису гильбертова лебегова пространства
Преобразование Фурье периодической функции соответствует её разложению по ортонормированному базису пространства
Дискретное преобразование Фурье функции соответствует разложению по ортонормированному базису пространства
В общем случае, преобразование Фурье на группах соответствует разложению функции по некоторому ортонормированному базису .
Литература
[править | править код]- Terras A. Fourier Analysis on Finite Groups and Applications (англ.) — Cambridge University Press, 1999. — 456 p. — ISBN 978-0-511-62626-5 — doi:10.1017/CBO9780511626265
- Mensah Y. Fourier Transform on Groups and Applications (англ.) // Data-Driven Modeling for Sustainable Engineering — 2019. — P. 21—28. — doi:10.1007/978-3-030-13697-0_2