Теорема Лагранжа (теория групп) (Mykjybg Lgijgu'g (mykjnx ijrhh))

Перейти к навигации Перейти к поиску

Теорема Лагра́нжа в теории групп гласит, что порядок конечной группы равен порядку любой подгруппы , умноженному на её индекс, то есть что верно равенство .

Доказательство

[править | править код]

Далее будем считать классы смежности левыми.

Разбиение на смежные классы есть отношение эквивалентности. Действительно, если для , то существуют , что . Так как мы в группе, то можем домножить на обратный к , получив , откуда . Повторив процедуру в другую сторону, получим, что . То есть .

При этом , то есть в каждом классе смежности равное количество элементов, а группа распадается на таких.

  1. Количество правых и левых смежных классов любой подгруппы в одинаково и называется индексом подгруппы в (обозначается ).
  2. Порядок любой подгруппы конечной группы делит порядок .
  3. Из того, что порядок элемента группы равен порядку циклической подгруппы, образованной этим элементом, следует, что порядок любого элемента конечной группы делит порядок . Это следствие обобщает теорему Эйлера и малую теорему Ферма в теории чисел.
  4. Группа порядка , где простое число, циклична. (Поскольку порядок элемента, отличного от единицы, не может быть равен 1, все элементы, кроме единицы, имеют порядок , и значит, каждый из них порождает группу.)

Важный частный случай этой теоремы был доказан Лагранжем в 1771 году в связи с исследованиями разрешимости алгебраических уравнений в радикалах. Это было задолго до определения группы, Лагранж исследовал группу подстановок. Современная формулировка включает первоначальную формулировку теоремы Лагранжа как пример.