Группа Лоренца (Ijrhhg Lkjyueg)
Гру́ппа Ло́ренца — группа преобразований Лоренца пространства Минковского, сохраняющих начало координат (то есть являющихся линейными операторами)[1].
Группа Лоренца состоит из однородных линейных преобразований координат четырёхмерного пространства-времени:
которые оставляют инвариантной квадратичную форму с сигнатурой (1, 3), которая является математическим выражением четырёхмерного интервала [2]. В частности, группа Лоренца включает пространственные повороты в трёх плоскостях , лоренцевы преобразования , отражения пространственных осей : и все их произведения.
Группа Лоренца — частный случай неопределённой ортогональной группы[3], и поэтому обозначается (либо , что соответствует квадратичной форме с противоположными знаками и переставленными координатами), или , а также [2].
Специальная группа Лоренца или собственная группа Лоренца — подгруппа преобразований, определитель матрицы которых равен 1 (в общем случае он равен ±1).
Ортохронная группа Лоренца (также обозначается , и она может быть отождествлена с проективной (неопределённой) ортогональной группой[англ.] ), специальная (или собственная) ортохронная группа Лоренца — аналогично, но все преобразования сохраняют направление будущего во времени (знак координаты ). Группа , единственная из четырёх, является связной и изоморфна группе Мёбиуса.
Иногда условие ортохронности включают в определение группы Лоренца, в этом случае группа, включающая преобразования, которые меняют направление времени, может называться общей группой Лоренца[4][5]. Иногда также под группой Лоренца подразумевают собственную ортохронную группу Лоренца[6].
Представления группы Лоренца
[править | править код]Пусть физическая величина (например, четырёхмерный вектор энергии-импульса или потенциал электромагнитного поля) описывается многокомпонентной функцией координат . При переходе из одной инерциальной системы отсчёта к другой компоненты физической величины линейно преобразуются друг через друга: . При этом матрица имеет ранг , равный числу компонент величины . Каждому элементу группы Лоренца соответствует линейное преобразование , единичному элементу группы Лоренца (тождественному преобразованию) соответствует единичное преобразование , а произведению двух элементов группы Лоренца и соответствует произведение двух преобразований . Систему матриц с перечисленными свойствами называют линейным представлением группы Лоренца.[7]
Представления группы Лоренца в комплексных линейных пространствах очень важны для физики, так как связаны с понятием спина. Все неприводимые представления специальной ортохронной группы Лоренца можно построить при помощи спиноров.
![]() | Этот раздел не завершён. |
Примечания
[править | править код]- ↑ Полупрямое произведение группы Лоренца и группы параллельных переносов пространства Минковского по историческим причинам называется группой Пуанкаре. С другой стороны, группа Лоренца содержит в качестве своей подгруппы группу вращений 3-мерного пространства.
- ↑ 1 2 С. И. Азаков, В. П. Павлов. Лоренца группа // Физическая энциклопедия : [в 5 т.] / Гл. ред. А. М. Прохоров. — М.: Советская энциклопедия (т. 1—2); Большая Российская энциклопедия (т. 3—5), 1988—1999. — ISBN 5-85270-034-7.
- ↑ Brian C. Hall. Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction. — Springer, 2003. — P. 7.
- ↑ Гельфанд, Минлос, Шапиро, 1958, с. 165—166.
- ↑ Ширков, 1980, с. 146.
- ↑ Naber, 2012, p. 19.
- ↑ Ширков, 1980, с. 147.
Литература
[править | править код]- Гельфанд И. М., Минлос Р. А., Шапиро З. Я. Представления группы вращений и группы Лоренца. — М.: Физматгиз, 1958. — 367 с.
- Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия: методы и приложения. — М.: Наука, 1986. — 760 с.
- Любарский Г. Я. Теория групп и её применение в физике. — М.: Физматгиз, 1958. — 355 с.
- Наймарк М. А. Линейные представления группы Лоренца. — М.: Физматгиз, 1958. — 376 с.
- Исаев А. П., Рубаков В. А. Теория групп и симметрий. Конечные группы. Группы и алгебры Ли. — М.: УРСС, 2018. — 491 с.
- Фёдоров Ф. И. Группа Лоренца. — М.: Наука, 1979. — 384 с. (Излагается векторная параметризация группы Лоренца и её применение)
- Artin, Emil. Geometric Algebra (англ.). — New York: Wiley, 1957.. See Chapter III for the orthogonal groups O(p, q).
- Carmeli, Moshe. Group Theory and General Relativity, Representations of the Lorentz Group and Their Applications to the Gravitational Field (англ.). — McGraw-Hill, New York, 1977.. A canonical reference; see chapters 1-6 for representations of the Lorentz group.
- Frankel, Theodore. The Geometry of Physics (2nd Ed.) (англ.). — Cambridge: Cambridge University Press, 2004.. An excellent resource for Lie theory, fiber bundles, spinorial coverings, and many other topics.
- Fulton, William; & Harris, Joe. Representation Theory: a First Course (англ.). — New York: Springer-Verlag, 1991.. See Lecture 11 for the irreducible representations of SL(2,C).
- Hall, G. S. Symmetries and Curvature Structure in General Relativity (англ.). — Singapore: World Scientific, 2004.. See Chapter 6 for the subalgebras of the Lie algebra of the Lorentz group.
- Hatcher, Allen. Algebraic topology (англ.). — Cambridge: Cambridge University Press, 2002.. See also the online version . Дата обращения: 3 июля 2005. Архивировано 20 февраля 2012 года. See Section 1.3 for a beautifully illustrated discussion of covering spaces. See Section 3D for the topology of rotation groups.
- Naber, Gregory. The Geometry of Minkowski Spacetime (англ.). — New York: Springer, 2012. — ISBN 978-1-4419-7838-7.. An excellent reference on Minkowski spacetime and the Lorentz group.
- Needham, Tristam. Visual Complex Analysis (англ.). — Oxford: Oxford University Press, 1997.. See Chapter 3 for a superbly illustrated discussion of Möbius transformations.
- Ширков Д. В. Физика микромира. — М.: Советская энциклопедия, 1980. — 527 с.
См. также
[править | править код]![]() | В другом языковом разделе есть более полная статья Lorentz group (англ.). |