Теорема Коши (теория групп) (Mykjybg Tkon (mykjnx ijrhh))

Если порядок конечной группы $G$ делится на простое число $p$ , то $G$ содержит элементы порядка $p$ .

Она тесно связана с теоремой Лагранжа, в силу которой порядок любой конечной группы G делится на порядок любой её подгруппы. В силу теоремы Коши для любого простого делителя p порядка группы G, существует подгруппа, чей порядок равен p. Ей является циклическая группа, порождённая элементом из теоремы Коши.

Обобщением теоремы Коши является первая теорема Силова, в соответствии с которой, если pⁿ является максимальной степенью p, на которую делится порядок группы G, то G имеет подгруппу именно такого порядка. Используя тот факт, что группа порядка pⁿ разрешима, можно показать, что G содержит подгруппы любого порядка p^r, для которого $r\leq n.$

Доказательство

Эту теорему часто доказывают с помощью индукции и применения классов сопряжённости, но для абелевых групп аналогичное утверждение доказать намного проще. В доказательстве также может применяться действие группы.^[1]

Вариант 1

Сначала докажем эту теорему в частном случае, когда группа G абелева, затем в общем случае. Оба раза теорема будет доказана индукцией по n = |G|, начиная с n = p. База тривиальна, так как любой нетождественный элемент имеет порядок p.

Если G абелева, то рассмотрим любой нетождественный элемент a и порождённую им циклическую подгруппу H. Если p делит |H|, то a^|H|/p является искомым элементом порядка p. Иначе p делит не порядок |H|, а порядок [G:H] факторгруппы G/H. Тогда по индуктивному предположению факторгруппа содержит элемент порядка p. Им является один из классов xH, где x лежит в G. Если он имеет порядок m в группе G, то $m\vdots p$ : благодаря тому, что в группе G x^m = e, (xH)^m = eH в факторгруппе G/H. Поэтому p делит m; аналогично x^m/p окажется элементом порядка p в группе G, что заканчивает доказательство в абелевом случае.

В общем случае пусть группа Z является центром группы G. Тогда Z окажется абелевой. Если её порядок кратен p,то она, как мы уже видели, содержит элемент порядка p. Значит, этот элемент имеет порядок p и в группе G. Иначе p не делит Z. Так как p делит |G|, а G разбивается на Z и остальные классы сопряжённости, один из этих классов содержит элемент a, размер чьего класса не делится на p. Но легко показать, что его размер равен [G : C_G(a)] и не кратен p. Поэтому p делит порядок не совпадающего с группой G централизатора C_G(a) элемента a в группе G. Но по индуктивному предположению в централизаторе лежит искомый элемент порядка p, что и требовалось доказать.

Вариант 2

В этом варианте мы воспользуемся тем фактом, что действие циклической группы простого порядка p порождает только орбиты размеров 1 и p, что сразу следует из теоремы о стабилизаторах орбит.

Подействуем нашей группой на множество решений уравнения

X=\{\,(x_{1},\ldots ,x_{p})\in G^{p}:x_{1}x_{2}\cdots x_{p}=e\,\}

т.е. на множество последовательностей из p элементов группы G, чьё произведение равно 1. Такая последовательность однозначно задаётся всеми элементами, кроме последнего, который обратен произведению остальных. Также понятно, что эти p − 1 элементов можно выбирать произвольным способом, и в множестве X имеется |G|^p−1 элементов, и их количество кратно p.

Теперь заметим, что в группе ab = e, если и только если ba = e. Поэтому, если $x_{1}x_{2}\cdots x_{p}=e$ , то $x_{2}\cdots x_{p}x_{1}=e$ . Значит, циклические перестановки компонентов элемента множества X снова породят элементы X. Это позволяет задать действие циклической группы C_p порядка p на множестве X с помощью перестановки компонентов. Иными словами, порождающий группу C_p элемент переводит

(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{p})\mapsto (x_{2},\ldots ,x_{p},x_{1})

.

Очевидно, при таком действии орбиты в X имеют размеры 1 или p. Орбита имеет размер 1, если и только если её единственный элемент имеет вид $(x,x,\ldots ,x)$ и $x^{p}=e$ . Так как количество элементов X равно сумме количеств элементов в орбитах, количество элементов $x$ , для которых $x^{p}=e$ , кратно p. Так как одним из них является единичный элемент, всего существует хотя бы $p$ элементов, хотя бы p − 1 из которых не равен единичному, а имеет порядок p. Теорема доказана.

Применения

Теорема Коши позволяет сразу установить то, какие группы могут быть конечными р-группами, где p — простое число. Именно, конечная группа G является p-группой (т.е. порядки всех элементов — точные степени p), если и только если порядок группы сам является степенью p. Хотя абелев случай также можно применить, чтобы доказать по индукции первую теорему Силова, ^[2] так же, как в первом доказательстве, существуют и доказательства, в которых этот случай разбирается отдельно.

Пример

Абелева простая группа может быть только циклической простого порядка. Действительно, в любой такой группе G все её подгруппы нормальны. Значит, если она проста, то все её нормальные подгруппы — либо единичная, либо она сама. если |G| = 1, то G сама является единичной. Иначе в ней есть неединичный элемент a ∈ G, и циклическая группа $\langle a\rangle$ является неединичной подгруппой G. Значит, $G=\langle a\rangle .$ Пусть теперь порядок группы $\langle a\rangle$ равен n. Если он бесконечен, то

G=\langle a\rangle \supsetneqq \langle a^{2}\rangle \supsetneqq \{e\},

что невозможно.

Значит, n конечно. Если n составное, то оно кратно простому q, меньшему n. Но тогда существует подгруппа H порядка q, что противоречит условию. Значит, n просто.

Литература

Cauchy, Augustin-Louis (1845), "Mémoire sur les arrangements que l'on peut former avec des lettres données, et sur les permutations ou substitutions à l'aide desquelles on passe d'un arrangement à un autre", Exercises d'analyse et de physique mathématique, 3, Paris: 151–252
Cauchy, Augustin-Louis (1932), Oeuvres complètes (PDF), second series, vol. 13 (reprinted ed.), Paris: Gauthier-Villars, pp. 171—282
Jacobson, Nathan (2009) [1985], Basic Algebra, Dover Books on Mathematics, vol. I (Second ed.), Dover Publications, p. 80, ISBN 978-0-486-47189-1
McKay, James H. (1959), "Another proof of Cauchy's group theorem", American Mathematical Monthly, 66: 119, doi:10.2307/2310010, MR 0098777, Zbl 0082.02601

[_5a9b2814cbdcc660-1] McKay, 1959.

[_afa354799f7ecd07-2] Jacobson, 2009, p. 80.

[1]

[2]

Теория групп
Основные понятия	Подгруппа Нормальная подгруппа Факторгруппа Произведение Прямое Полупрямое Свободное Действие группы
Алгебраические свойства	Коммутативная группа Циклическая группа Упорядоченная группа Разрешимая группа Лемма Шрайера Теорема Лагранжа Теоремы Силова Классификация простых конечных групп
Конечные группы	Конечная циклическая группа C_n Симметрическая группа S_n Диэдрическая группа D_n Знакопеременная группа A_n Четверная группа Клейна Группы Матьё M₁₁ M₁₂ M₂₂ M₂₃ M₂₄ Группы Конвея Co₁ Co₂ Co₃ Группы Янко J₁ J₂ J₃ J₄ Группы Фишера F₂₂ F₂₃ F₂₄ Монстр (М)
Топологические группы	Группы Ли Полная линейная GL(n) Ортогональная O(n) Специальная ортогональная SO(n) Унитарная U(n) Специальная унитарная SU(n) Симплектическая Sp(n) Исключительные простые Группа Лоренца Группа Пуанкаре
Алгоритмы на группах	Шрайера — Симса Тодда — Коксетера Преобразование Фурье