Порядок группы (Hkjx;kt ijrhhd)

Порядок группы — мощность носителя группы, то есть, для конечных групп — количество элементов группы. Обозначается $|G|$ или $\operatorname {Ord} (G)$.

Для конечных групп связь между порядком группы и её подгруппы устанавливает теорема Лагранжа: порядок группы $G$ равен порядку любой её подгруппы $H\subseteq G$, умноженному на её индекс — количество её левых или правых классов смежности:

$|G|=|H|\cdot [G:H]$.

Важным результатом о порядках групп является уравнение класса, связывающее порядок конечной группы $G$ с порядком её центра $\mathrm {Z} (G)$ и размерами её нетривиальных классов сопряжённости:

$|G|=|Z(G)|+\sum _{i}d_{i}$,

где $d_{i}$ — размеры нетривиальных классов сопряжённости. Например, центр симметрической группы $S_{3}$ — просто тривиальная группа из одного нейтрального элемента $e$, и уравнение превращается в $|S_{3}|=1+2+3$.

Порядок элементов конечных групп делит её групповой порядок. Из теоретико-групповой теоремы Коши следует, что порядок группы $G$ является степенью целого простого числа $p$ в том и только в том случае, когда порядок любого из её элементов является некоторой степенью $p$.

Литература

• Мельников О. В., Ремесленников В. Н., Романьков В. А. . Глава II. Группы // Общая алгебра / Под общ. ред. Л. А. Скорнякова. — М.: Наука, 1990. — Т. 1. — С. 66—290. — 592 с. — (Справочная математическая библиотека). — 30 000 экз. — ISBN 5-02-014426-6.