Преобразование Мёбиуса (HjykQjg[kfguny B~Qnrvg)
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/a/a2/Mob3d-elip-opp-200.png)
Преобразова́ние Мёбиуса — преобразование одноточечной компактификации евклидова пространства , представляющее собой композицию конечного числа инверсий относительно гиперсфер и отражений относительно гиперплоскостей[1].
На комплексной плоскости преобразования Мёбиуса суть простейшие конформные преобразования, а в многомерных расширенных вещественных пространствах размерностей больше двух все конформные отображения мёбиусовы по теореме Лиувилля[1].
В англоязычной литературе термин «преобразование Мёбиуса» часто определяют только для частного случая преобразования Мёбиуса, задаваемого двумя условиями:
- на расширенной комплексной плоскости ;
- как преобразование , задающееся при помощи дробно-линейной функции:
Это определение может рассматриваться как частный случай общего для , поскольку если расширенную комплексную плоскость представить себе как , то определения эквивалентны. В русскоязычной литературе для дробно-линейных функций комплексных чисел используют термин дробно-линейное преобразование.
Для случая одноточечная компактификация прямой представляет собой проективно расширенную числовую прямую. На ней преобразования Мёбиуса могут быть определены аналогично комплексному случаю с помощью дробно-линейных функций.
Проективно расширенная числовая прямая
[править | править код]![]() | Этот раздел не завершён. |
В случае пространство представляет собой расширенную числовую прямую. В этом случае преобразование Мёбиуса допускает альтернативное определение при помощи дробно-линейной функции:
Расширенная комплексная плоскость
[править | править код]Эта статья или раздел нуждается в переработке. |
В случае пространство можно рассматривать как расширенную комплексную плоскость. При таком рассмотрении частный случай преобразования Мёбиуса также называется дробно-линейным преобразованием и допускает альтернативное определение при помощи дробно-линейной функции:
В пространстве размерности 2 преобразование Мёбиуса переводит обобщённые окружности в обобщённые окружности.
Легко проверяются следующие простые свойства:
- Тождественное отображение также является частным случаем дробно-линейной функции. Достаточно подставить
- Суперпозиция дробно-линейных отображений также будет представлять собой дробно-линейную функцию.
- Функция, обратная дробно-линейной, также будет являться такой.
Отсюда следует, что дробно-линейные отображения будут образовывать группу относительно операции суперпозиции (группа автоморфизмов сферы Римана, именуемая также группой Мёбиуса). Эта группа является комплексно-трёхмерной группой Ли.
Алгебраические свойства
[править | править код]При умножении параметров , , , на ненулевое комплексное число преобразование не меняется. Говоря формально, группа Мёбиуса является проективизацией группы , то есть имеет место эпиморфизм: .
Группа Мёбиуса изоморфна специальной ортохронной группе Лоренца .
Предположим, что матрица, соответствующая преобразованию, нормализована, то есть удовлетворяет условию . Тогда, в зависимости от следа этой матрицы, равного , можно классифицировать все дробно-линейные отображения на три типа:
- эллиптические: ;
- параболические: ;
- гиперболические: .
Геометрические свойства
[править | править код]Во-первых, любое дробно-линейное отображение может быть представлено в виде комбинации сдвигов, инверсий, поворотов и растяжений. Это доказывается просто — произвольное отображение разложимо в суперпозицию четырёх функций:
где
Во-вторых, непосредственно из этого сразу следует свойство сохранения углов и сохранения окружностей при дробно-линейном отображении, так как все отображения, входящие в суперпозицию, конформны. Здесь подразумеваются окружности на сфере Римана, в число которых входят прямые на плоскости.
Далее, для трёх попарно различных точек существует единственное дробно-линейное отображение, переводящее эти три точки в заданные три попарно различные точки . Оно строится, исходя из того, что дробно-линейные отображения сохраняют ангармоническое отношение четырёх точек комплексной плоскости. Если точка является образом точки , то выполняется равенство
которое (при условии, что при ) однозначно определяет искомое отображение
Преобразование Мёбиуса и единичный круг
[править | править код]Преобразование Мёбиуса
является автоморфизмом единичного круга тогда и только тогда, когда и .
Как для сферы Римана, так и для единичного круга дробно-линейными функциями исчерпываются все конформные автоморфизмы. Автоморфизмы единичного круга образуют вещественно-трёхмерную подгруппу группы Мёбиуса; каждый из них выражается в виде:
Примеры
[править | править код]Одним из важных примеров дробно-линейной функции является преобразование Кэли:
Оно связывает две канонические области на комплексной плоскости, отображая верхнюю полуплоскость в единичный круг .
Пространства старших размерностей
[править | править код]![]() | Этот раздел не завершён. |
Начиная с любое конформное отображение является преобразованием Мёбиуса. Преобразования Мёбиуса имеют один из следующих видов:
- ,
где , — ортогональная матрица.
Примечания
[править | править код]Источники
[править | править код]- Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. — М.: Наука, 1969. — 577 с.
- Крушкаль С. Л. Предисловие редактора перевода // Альфорс Л. Преобразования Мёбиуса в многомерном пространстве: Пер. с англ. Н. А. Гусевского. Под ред. С. Л. Крушкаля. М.: Мир, 1986. 112 с., ил. [Современная математика. Вводные курсы.] [Ahlfors Lars V. Möbius Transformations in Several Dimensions. School of Mathematics, University of Minnesota, 1981.]
- Иванов А. Б. Круговое преобразование // Математическая энциклопедия: Гл. ред. И. М. Виноградов, т. 3 Коо—Од. М.: «Советская Энциклопедия», 1982. 1184 стб., ил. С. 122.
Ссылки
[править | править код]- Moebius Transformations Revealed Архивная копия от 16 февраля 2011 на Wayback Machine на YouTube.
- то же (с русскими субтитрами) Архивная копия от 22 июня 2015 на Wayback Machine.
Для улучшения этой статьи желательно: |