Единичный круг (Y;nuncudw tjri)

Единичный круг — круг радиуса 1 на евклидовой плоскости (рассматриваемый обычно на комплексной плоскости); «идиоматическая» область в комплексном анализе.

Определение

Единичный круг — открытое подмножество комплексной плоскости, задаваемое неравенством

|z|<1

или (что то же самое),

z{\bar {z}}<1

.

В действительных координатах $x+iy=z$ неравенство выглядит как:

x^{2}+y^{2}<1

.

Круг связен и односвязен (например, в силу выпуклости). Границей единичного круга является единичная окружность.

Единичный круг обычно обозначается как $\Delta$ или $D$ .

Автоморфизмы единичного круга

С точки зрения конформных отображений, автоморфизмы единичного круга составляют 3-мерную группу Ли, состоящую из дробно-линейных отображений специального вида:

f(z)=e^{i\varphi }{\frac {z+b}{1+{\bar {b}}z}},\ |b|<1

Две степени свободы b обеспечиваются возможностью отобразить 0 (центр) в произвольную точку круга, а одна ( $\varphi$ ) — поворотами.

С точки зрения евклидовой геометрии, разумеется, кроме поворотов у круга автоморфизмов (движений) нет.

Модель Пуанкаре

Оказывается, что конформные автоморфизмы круга можно рассматривать и как метрические, но если рассмотреть на круге особую (неевклидову) метрику — метрику Пуанкаре:

ds^{2}=4{\frac {dz\,d{\bar {z}}}{(1-|z|^{2})^{2}}}=4{\frac {dx^{2}+dy^{2}}{(1-x^{2}-y^{2})^{2}}}.

Круг оказывается, таким образом, моделью плоскости Лобачевского.

Круг или полуплоскость?

С точки зрения комплексного анализа, в принципе, нет разницы, которую из односвязных областей на плоскости рассматривать — по теореме Римана они все эквивалентны (кроме самой плоскости). Чаще всего используют единичный круг и верхнюю полуплоскость. И единичный круг, и полуплоскость можно рассматривать как половинки сферы Римана, разрезанной большой окружностью.

Однако, для исследований связанных со степенными рядами удобнее рассматривать именно круги (см. круг сходимости).

Другие значения

В принципе, «единичным кругом» можно назвать круг единичного радиуса с центром не обязательно в нуле (начале координат), и не на евклидовой плоскости.