След матрицы (Vly; bgmjned)

След ма́трицы — сумма всех элементов главной диагонали квадратной матрицы, то есть если $a_{ij}$ — элементы квадратной матрицы $A$ , то её след $\operatorname {tr} A=\sum _{i}a_{ii}$ . Операция взятия следа отображает пространство квадратных матриц в поле, над которым определена матрица (для действительных матриц — в поле действительных чисел, для комплексных матриц — в поле комплексных чисел). Матрицы с нулевым следом называют бесследовыми (от англ. traceless или tracefree)^[1].

В математических текстах встречается два обозначения операции взятия следа: $\operatorname {tr} A$ (от англ. trace — след), и $\operatorname {Sp} A$ (от нем. Spur — след).

В тензорном исчислении следом тензора второго ранга называется сумма его диагональных элементов. Независимо от ковариантности и контравариантности компонент, след тензора второго ранга вычисляется как двойное скалярное произведение тензора с метрическим тензором и является первым инвариантом: $\operatorname {tr} A=I_{1}(A)=g\cdot \cdot A$ .

Определение

Под следом квадратной матрицы $A$ размера $n\times n$ понимают:

$\operatorname {tr} A=\sum _{i=1}^{n}a_{ii}=a_{11}+a_{22}+\cdots +a_{nn},$

где $a_{ii}$ — элементы главной диагонали:

$\operatorname {tr} {\begin{pmatrix}\color {red}{a_{11}}&\cdots &a_{1n}\\\vdots &\color {red}{\ddots }&\vdots \\a_{n1}&\cdots &\color {red}{a_{nn}}\end{pmatrix}}=\sum _{i=1}^{n}\color {red}{a_{ii}}$ .

Свойства

Линейность $\operatorname {tr} (\alpha A+\beta B)=\alpha \operatorname {tr} A+\beta \operatorname {tr} B$ .
$\operatorname {tr} (AB)=\operatorname {tr} (BA)$ .
Следствие: след одинаков для всех подобных матриц: $\operatorname {tr} (C^{-1}AC)=\operatorname {tr} A$ .
$\operatorname {tr} A=\operatorname {tr} A^{\mathrm {T} }$ , где $\mathrm {T}$ означает операцию транспонирования.
$\ln \det A=\operatorname {tr} \ln A$ .
Если $A\otimes B$ — тензорное произведение матриц A и B, то $\operatorname {tr} A\otimes B=(\operatorname {tr} A)(\operatorname {tr} B)$ .
След матрицы равен сумме её собственных значений.
Определитель квадратной матрицы $n\times n$ можно выразить через следы степеней этой матрицы, не превосходящие $n$ . Например $\det A_{3\times 3}={\frac {1}{6}}\left((\operatorname {tr} A)^{3}-3\operatorname {tr} A\cdot \operatorname {tr} A^{2}+2\operatorname {tr} A^{3}\right)$ .

Геометрическое свойство

$\det(E+G\varepsilon )=1+\operatorname {tr} G\varepsilon +o(\varepsilon )$ ,

где E — единичная матрица, ε — бесконечно малое число. То есть бесконечно малое линейное преобразование изменяет объём на величину, пропорциональную следу генератора этого преобразования в первом порядке по его малому параметру. Иными словами, скорость изменения объёма при таком преобразовании равна следу его генератора.

Следствия:
- $\det \exp(G\alpha )=1+\operatorname {tr} G\alpha$ для малых α.
- Для того, чтобы преобразования не меняли объём, достаточно того, чтобы их генераторы были бесследовыми.