Гомотетия (Ikbkmymnx)

Гомоте́тия (от др.-греч. ὁμός «одинаковый» + θετος «расположенный») — преобразование плоскости (или 3-мерного пространства), заданное центром O и коэффициентом $k\neq 0$ , переводящее каждую точку $X$ в точку $X'$ такую, что ${\overrightarrow {OX'}}=k{\overrightarrow {OX}}$ . При этом центр остаётся на месте. Гомотетию с центром O и коэффициентом k часто обозначают через $H_{O}^{k}$ .

Свойства

Является частным случаем преобразования подобия: в общем случае при преобразовании подобия все векторы по определению просто пропорционально изменяют свою длину, а при гомотетии векторы остаются коллинеарны самим себе, какими они стали после преобразования. Поэтому вместо «коэффициент гомотетии $k$ » можно говорить «коэффициент подобия $k$ ».
Если коэффициент гомотетии равен 1, то гомотетия является тождественным преобразованием: образ каждой точки совпадает с ней самой.
Если коэффициент гомотетии равен −1, то гомотетия является центральной симметрией.
Если на рисунке выше стороны подобных многоугольников относятся как $A'B'/AB=B'C'/BC=k$ , то их площади будут относиться как $k^{2}$ (на плоскости и 3-мерном пространстве это утверждение представляет собой закон квадрата — куба).
Композиция гомотетий с коэффициентами $k_{1}$ и $k_{2}$ , произведение которых не равно единице, — это гомотетия с коэффициентом $k_{1}k_{2}$ , центр которой лежит на одной прямой с центрами двух данных гомотетий.

Вариации и обобщения

Поворотной гомотетией называют композицию гомотетии и поворота, имеющих общий центр. Порядок, в каком берётся композиция, несущественен, так как $R_{O}^{\varphi }\circ H_{O}^{k}=H_{O}^{k}\circ R_{O}^{\varphi }$ . Коэффициент поворотной гомотетии можно считать положительным, так как $R_{O}^{180^{\circ }}\circ H_{O}^{k}=H_{O}^{-k}$ .

См. также

Ссылки