Ортогональная матрица (Kjmkikugl,ugx bgmjneg)

Перейти к навигации Перейти к поиску

Ортогона́льная ма́трица — квадратная матрица с вещественными элементами, результат умножения которой на транспонированную матрицу равен единичной матрице[1]:

или, что эквивалентно, её обратная матрица (которая обязательно существует) равна транспонированной матрице:

Комплексным аналогом ортогональной матрицы является унитарная матрица.

Ортогональная матрица с определителем называется специальной ортогональной.

и
где ,  — порядок матрицы, а  — символ Кронекера.

Другими словами, скалярное произведение строки на саму себя равно 1, а на любую другую строку — 0. Это же справедливо и для столбцов.

  • Определитель ортогональной матрицы равен , что следует из свойств определителей:
Обратное неверно; матрица с определителем может быть неортогональной. Так, матрица неортогональна, хотя её определитель равен 1.
и
  • — матрица, отражающая плоскость относительно оси Х.
  •  — матрица поворота плоскости на угол θ.
  •  — пример матрицы поворота.
  •  — матрица поворота, выраженная через углы Эйлера.

Примечания

[править | править код]
  1. Ильин В. А., Позняк Э. Г. Линейная алгебра. — 4-е изд. — М: Наука, 1999. — стр. 158. — ISBN 5-02-015235-8.