Расширение группы (Jgvonjyuny ijrhhd)

Перейти к навигации Перейти к поиску

Расширение группы — группа, содержащая заданную группу в качестве нормальной подгруппы. В задаче расширения как правило заданы нормальная подгруппа и факторгруппа , и ищется расширение такое, что , или, что эквивалентно, такая , что существует короткая точная последовательность:

.

В этом случае говорят, что является расширением при помощи [1] (иногда используется другая формулировка: группа является расширением с помощью [2][3]).

Расширение называется центральным расширением, если подгруппа лежит в центре группы .

Группы также как являются расширениями при помощи .

Очевидное расширение — прямое произведение: если , то является как расширением , так и . Если является полупрямым произведением групп и (), то является расширением с помощью .

Сплетения групп[англ.]* дают дальнейшие примеры расширений.

Если потребовать, что и были абелевыми группами, то множество классов изоморфизмов расширения группы с помощью заданной (абелевой) группы , фактически, является группой, которая изоморфна:

(функтор Ext). Некоторые другие общие классы расширений известны, но нет теории, которая рассматривает все возможные расширения одновременно, в этом смысле задача расширения группы обычно считается трудной.

Поскольку любая конечная группа обладает максимальной нормальной подгруппой с простой факторгруппой , все конечные группы могут быть построены как композиционные ряды[англ.] , где каждая группа является расширением при помощи некоторой простой группы. Этот факт стал одним из важных стимулов для решения задачи классификации простых конечных групп.

Классификация расширений

[править | править код]

Решение задачи расширения означает классификацию всех расширений группы при помощи , или, более конкретно, выражение всех таких расширений в терминах математических объектов, которые в каком-либо их смысле проще (легко вычислить или хорошо изучены). В общем случае эта задача очень трудна, и все наиболее полезные результаты классифицируют расширения, которые удовлетворяют некоторым дополнительным условиям.

Для задачи классификации важным понятием является эквивалентности расширений; говорят, что расширения:

и

эквивалентны (или конгруэнтны), если существует изоморфизм группы , делающий коммутативной диаграмму:

Фактически, достаточно иметь группу гомоморфизмов. Вследствие предполагаемой коммутативности диаграммы отображение вынужденно будет изоморфизмом по короткой лемме о пяти гомоморфизмах[англ.].

Может случиться, что расширения и не эквивалентны, но и изоморфны как группы. Например, имеется неэквивалентных расширений четверной группы Клейна с помощью [4], но существуют, с точностью до изоморфизма, только четыре группы порядка 8, содержащие нормальную подгруппу порядка с факторгруппой, изоморфной четверной группе Клейна.

Тривиальные расширения

[править | править код]

Тривиальное расширение — это расширение:

,

которое эквивалентно расширению:

,

где левая и правая стрелки являются соответственно включением и проекцией каждого множителя .

Классификации расщепляемых расширений

[править | править код]

Расщепляемое расширение — это расширение:

с гомоморфизмом , таким что переход от к с помощью , а затем обратно к по факторотображению короткой точной последовательности порождает тождественное отображение на , то есть . В этой ситуации обычно говорят, что расщепляет вышеупомянутую точную последовательность.

Расщепляемые расширения очень легко классифицировать, поскольку расширение расщепляемо тогда и только тогда, когда группа является полупрямым произведением и . Полупрямые произведения сами по себе легко классифицировать, поскольку они взаимно однозначно соответствуют гомоморфизмам , где является группой автоморфизмов .

Центральное расширение

[править | править код]

Центральное расширение группы является короткой точной последовательностью групп

такой что лежит в (центре группы ). Множество классов изоморфизмов центральных расширений группы с помощью (где действует тривиально на ) является взаимно-однозначным соответствием с группой когомологий[англ.] .

Примеры центральных расширений могут быть построены путём взятия любой группы и любой абелевой группы , полагая равным . Этот вид расщепляемого примера (расщепляемое расширение в смысле задачи расширения, поскольку является подгруппой ) не представляет особого интереса, поскольку он соответствует элементу в согласно вышеупомянутому соответствию. Более серьёзные примеры найдены в теории проективных представлений в случаях, когда проективные представления не могут быть подняты до обычных линейных представлений.

В случае конечных совершенных групп имеется универсальное совершенное центральное расширение[англ.].

Аналогично, центральное расширение алгебры Ли является точной последовательностью

такой что находится в центре .

Существует общая теория центральных расширений в многообразиях Мальцева[5].

В теории групп Ли центральные расширения возникают в связи с алгебраической топологией. Грубо говоря, центральные расширения групп Ли с помощью дискретных групп это то же самое, что накрывающие группы[англ.]. Более точно, связное накрывающее пространство связной группы Ли является естественным центральным расширением группы , при этом проекция

является группой гомоморфизмов и сюръективна. (Структура группы на зависит от выбора отображения тождественного элемента в тождественный элемент .) Например, когда является универсальным накрытием группы , ядро является фундаментальной группой группы , которое, как известно, абелево (H-пространство). Обратно, если дана группа Ли и дискретная центральная подгруппа , факторгруппа является группой Ли, а является её накрывающим пространством.

Более общо, если группы , и в центральном расширении являются группами Ли и отображения между ними являются гомоморфизмами группы Ли, то если алгеброй Ли группы является , алгеброй является , а алгеброй является , то является центральным расширением алгебры Ли[англ.] с помощью . В терминологии теоретической физики генераторы алгебры называются центральными зарядами[англ.]. Эти генераторы лежат в центре алгебры . По теореме Нётер генераторы групп симметрии соответствуют сохраняющимся величинам и называются зарядами.

Основные примеры центральных расширений как накрывающих групп:

Случай вовлекает фундаментальную группу, которая является бесконечной циклической группой; здесь центральное расширение хорошо известно из теории модулярных форм для случая форм с весом . Соответствующее проективное представление является представлением Вейля[англ.], построенным из преобразования Фурье, в этом случае, на вещественной оси. Метаплектические группы появляются также в квантовой механике.

Примечания

[править | править код]
  1. В общей алгебре чаще всего под расширением структуры обычно предполагается структура , в которой является подструктурой, таким образом, в частности, определяется расширение поля; но в теории групп (возможно, ввиду обозначения ) устоялась другая терминология, и фокус сосредоточен не на , а на факторгруппе , поэтому считается, что расширяется именно при помощи .
  2. Remark 2.2. Дата обращения: 15 марта 2019. Архивировано 26 мая 2019 года.
  3. Brown, Porter, 1996, с. 213–227.
  4. Dummit, Foote, 2004, с. 830.
  5. Janelidze, Kelly, 2000.

Литература

[править | править код]
  • David S. Dummit, Richard M. Foote. Abstract algebra. — third edition. — Hoboken, NJ: John Wiley & Sons, Inc., 2004. — ISBN 0-471-43334-9.
  • Маклейн С. Гомология. — М.: Мир, 1966.
  • Taylor R.L. Covering groups of non connected topological groups // Proceedings of the American Mathematical Society. — 1954. — Т. 5. — С. 753–768.
  • Brown R., Mucuk O. Covering groups of non-connected topological groups revisited // Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. — 1994. — Т. 115. — С. 97–110.
  • Brown R., Porter T. On the Schreier theory of non-abelian extensions: generalisations and computations // Proceedings of the Royal Irish Academy. — 1996. — Т. 96A. — С. 213–227.
  • Janelidze G., Kelly G. M. Central extensions in Malt'sev varieties // Theory and Applications of Categories. — 2000. — Т. 7. — С. 219–226.
  • Morandi P. J. Group Extensions and .
  • Group extensions. GroupNames. Дата обращения: 14 июня 2019.