Поликуб (HklntrQ)

8 «односторонних» тетракубов

29 «односторонних» пентакубов

Поликуб — трёхмерная фигура, образованная путём соединения нескольких равных кубов гранью к грани. Это полиформа, базовый сегмент которой имеет форму куба. Поликубы являются трёхмерными аналогами плоских полимино.

Число поликубов

Как и в случае полимино, подсчёт поликубов может быть основан на нескольких типах соглашений, в зависимости от того, считать ли повороты и зеркальные отражения различными фигурами. Например, среди тетракубов есть шесть зеркально-симметричных и один хиральный, что делает общее количество тетракубов равным 7 (свободные) или 8 (односторонние). В отличие от полимино, при подсчёте поликубов, как правило, зеркально отражённые фигуры считаются различными, потому что в трёхмерном пространстве нельзя перевести поликуб в своё зеркальное отражение, как можно это сделать с полимино. В частности, в кубиках сома используются обе формы хирального тетракуба.

n	Наименование	Число «односторонних» n-кубов (зеркальные отражения различаются) последовательность A000162 в OEIS	Число свободных n-кубов (зеркальные отражения считаются идентичными) последовательность A038119 в OEIS
1	монокуб	1	1
2	дикуб	1	1
3	трикуб	2	2
4	тетракуб	8	7
5	пентакуб	29	23
6	гексакуб	166	112
7	гептакуб	1023	607
8	октакуб	6922	3811
9	нонакуб	48 311	25 413
10	декакуб	346 543	178 083

По состоянию на 2024 год известно точное количество поликубов вплоть до порядка n=22.

Симметрии поликубов

Как и полимино, поликубы можно классифицировать по количеству симметрий, которые они имеют. Возможные симметрии поликубов (классы сопряженности подгрупп ахиральной октаэдрической группы) впервые были перечислены У. Ф. Ланноном в 1972 году. Большинство поликубов асимметричны, но многие имеют более сложные группы симметрии, вплоть до полной группы симметрии куба с 48 элементами. Всего для поликубов существует 33 различных типа симметрии (включая асимметрию).

Головоломки на основе поликубов

На основе поликубов существует множество различных головоломок, наиболее известными примерами которых являются кубики сома, куб Бедлама, дьявольский куб, головоломка Слотобера — Граатсмы и головоломка Конвея.

• 
  Куб Бедлама (собранный)
• 
  Куб Бедлама (детали)
• 
  Кубики сома (одно из 6 решений)
• 
  Кубики сома (детали)

Ссылки

• Библиотека по математике Задачи о пространственных пентамино Архивная копия от 4 марта 2016 на Wayback Machine
• OEIS A000162 Архивная копия от 26 августа 2013 на Wayback Machine — количество поликубов как функция порядка
• Weisstein, Eric W. Polycube (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• The Poly Pages Polycubes Архивная копия от 11 ноября 2013 на Wayback Machine
• David J. Goodger Polycubes: Puzzles & Solutions Архивная копия от 24 июля 2013 на Wayback Machine
• Harm J. Schoonhoven Klarner's pentacube puzzle Архивная копия от 18 мая 2014 на Wayback Machine
• Peter F. Esser Pseudo-Polycubes Архивная копия от 23 октября 2013 на Wayback Machine, Hexacubes Архивная копия от 25 апреля 2016 на Wayback Machine, Solid Heptominoes Архивная копия от 4 марта 2016 на Wayback Machine, Solid Octominoes Архивная копия от 4 марта 2016 на Wayback Machine
• Bob Harris Bob’s Puzzle Pages Архивная копия от 19 августа 2013 на Wayback Machine — головоломки с поликубами, названия пентакубиков Архивная копия от 8 сентября 2013 на Wayback Machine, гексакубиков Архивная копия от 8 сентября 2013 на Wayback Machine