Декамино (:ytgbnuk)

Декамино (или 10-мино) — десятиклеточные полимино, или многоугольники, составленные из 10 единичных квадратов, соединённых сторонами.

Если не различать фигуры, получаемые друг из друга поворотами и отражениями, то существует 4655 декамино. Если условиться различать зеркальные отражения, то число различных декамино возрастает до 9189, а если различать и вращения — то до 36 446.

Подмножества

195 из 4655 двусторонних (свободных) декамино содержат в себе отверстия. 13 из 195 «дырявых» декамино содержат отверстия в форме домино (все они могут быть получены добавлением единичного квадрата к единственному нонамино с отверстием в форме домино); оставшиеся 182 дырявых декамино содержат отверстия в форме мономино.

Симметрии

Единственное декамино с двумя диагональными осями зеркальной симметрии

4655 двусторонних декамино можно разбить на несколько подмножеств по их группам симметрии:

• 4461 декамино асимметричны — их группа симметрии тривиальна;
• 90 декамино имеют одну ось симметрии, параллельную рёбрам квадратного паркета, и их группа симметрии состоит из двух элементов — тождественного преобразования и отражения;
• 22 декамино имеют одну диагональную ось симметрии, и их группа симметрии также состоит из двух элементов;
• 73 декамино имеют центральную симметрию второго порядка, и их группа симметрии состоит из двух элементов — тождественного преобразования и поворота на 180°;
• 8 декамино имеют две взаимно перпендикулярные оси симметрии, параллельные сторонам полимино; их группа симметрий состоит из четырёх элементов — тождественного преобразования, двух отражений и поворота на 180°;
• 1 декамино имеет две взаимно перпендикулярные диагональные оси симметрии, и его группа симметрий состоит из четырёх элементов.

В отличие от октамино и нонамино, среди декамино не встречается поворотная симметрия четвёртого порядка.

Число двусторонних или свободных декамино (фигур, которые можно поворачивать и переворачивать), таким образом, равно

$4461+90+22+73+8+1=4655,$

число односторонних декамино (фигур, которые можно поворачивать, но нельзя переворачивать) равно

$4461\cdot 2+90\cdot 1+22\cdot 1+73\cdot 2+8\cdot 1+1\cdot 1=9189,$

а число фиксированных декамино (фигур, которые нельзя ни поворачивать, ни переворачивать) —

$4461\cdot 8+90\cdot 4+22\cdot 4+73\cdot 4+8\cdot 2+1\cdot 2=36\ 446.$

Замощение плоскости

3070 двусторонних декамино (все, кроме 1585, в число которых входят и 195 «дырявых» декамино) покрывают плоскость.

Составление конструкций из декамино

Набор из четырёх декамино, обладающий способностью к правильной самовоспроизводимости первого порядка

Поскольку 195 декамино содержат «отверстия», из всех 4655 фигур нельзя сложить ни одного прямоугольника.

4460 односвязных декамино занимают общую площадь в 44 600 единичных квадратов; наибольший квадрат, который теоретически возможно построить с помощью односвязных декамино — квадрат 210 × 210, для построения которого требуется 4410 декамино. Такой квадрат в действительности был построен Livio Zucca.

Псевдодекамино

Псевдополимино — обобщение полимино, набор полей бесконечной шахматной доски, которые может обойти король. Существует 758 381 двустороннее псевдодекамино, 1 514 618 односторонних псевдодекамино и 6 053 180 фиксированных псевдодекамино.

Литература

• Голомб С.В.. Полимино = Polyominoes / Пер. с англ. В. Фирсова. Предисл. и ред. И. Яглома. — М.: Мир, 1975. — 207 с.
• Solomon W. Golomb. Polyominoes. — 2nd ed. — Princeton, New Jersey: Princeton University Press, 1994. — ISBN 0-691-02444-8.
• D. Hugh Redelmeier. Counting polyominoes: yet another attack // Discrete Mathematics : журнал. — 1981. — Vol. 36. — P. 191–203. — doi:10.1016/0012-365X(81)90237-5.
• Daniel A. Rawsthorne. Tiling complexity of small n-ominoes (n<10) // Discrete Mathematics : журнал. — 1988. — Vol. 70. — P. 71–75. — doi:10.1016/0012-365X(88)90081-7.
• Glenn C. Rhoads. Planar tilings by polyominoes, polyhexes, and polyiamonds // Journal of Computational and Applied Mathematics : журнал. — 2005. — Vol. 174. — P. 329–353. — doi:10.1016/j.cam.2004.05.002.