Вневписанная окружность (Fuyfhnvguugx ktjr'ukvm,)
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/6f/Incircle_and_Excircles.svg/220px-Incircle_and_Excircles.svg.png)
Вневпи́санная окружность треугольника — окружность, касающаяся одной из сторон треугольника и продолжений двух других его сторон. У любого треугольника существует три вневписанных окружности (в отличие от единственной вписанной).
Существование и единственность вневписанной окружности обусловлены тем, что биссектрисы двух внешних углов треугольника и биссектриса внутреннего угла, не смежного с этими двумя, пересекаются в одной точке, которая и является центром такой окружности.
Свойства
[править | править код]Здесь используются обозначения: — радиусы вневписанных окружностей с центрами , касающиеся соответственно сторон треугольника; — полупериметр треугольника; — радиус вписанной окружности; — радиус описанной окружности.
- Длина отрезка касательной, проведенной к вневписанной окружности из противоположной вершины, равна полупериметру треугольника.
- Площадь треугольника последнее равенство по формуле Герона.[1]
- Исходный треугольник является ортотреугольником для треугольника
- Барицентрические координаты
- Теорема Эйлера для вневписанных окружностей: , где O — центр описанной окружности.
- Радикальный центр вневписанных окружностей — центр Шпикера (центр вписанной окружности срединного треугольника).
- Центры вписанной и вневписанных окружностей — неподвижные точки изогонального сопряжения.
- Центр окружности, проходящей через центры вневписанных окружностей — точка Бевэна.
- Три центра трех вневписанных окружностей данного треугольника образуют треугольник трёх внешних биссектрис.
- Три перпендикуляра к сторонам треугольника, проведенные в точках их пересечения с тремя вневписанными окружностями, пересекаются в одной точке (следствие Теорем о вершинах подерного треугольника[2]).
- На прямой, проходящей через точки касания двух вневписанных окружностей треугольника с его сторонами, эти вневписанные окружности отсекают равные отрезки.
- Последнее можно сформулировать так. Если 2 вневписанные окружности треугольника касаются 2 его разных сторон и 2 их продолжений в 4 точках касания, то образуемый 4 последними точками, как вершинами, четырехугольник есть равнобокая трапеция, у которой равны 2 боковые стороны, а также равны две диагонали (касательные к 2 окружностям).
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/91/%D0%92%D0%BD%D0%B5%D0%B2%D0%BF%D0%B8%D1%81%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8B%D0%B5_%D0%BE%D0%BA%D1%80%D1%83%D0%B6%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8._%D0%9F%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%80%D0%BE%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5.svg/300px-%D0%92%D0%BD%D0%B5%D0%B2%D0%BF%D0%B8%D1%81%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8B%D0%B5_%D0%BE%D0%BA%D1%80%D1%83%D0%B6%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8._%D0%9F%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%80%D0%BE%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5.svg.png)
Замечание
[править | править код]- В англоязычной литературе 4 центра 4 окружностей: 1 вписанной и 3 вневписанных окружностей с центрами соответственно , касающиеся соответственно 3 разных сторон треугольника или их продолжений, - называют 4 трехкасательными центрами треугольника (the tritangent centers) [3]. О 4 трехкасательных центрах треугольника существует множество теорем:
- 4 трехкасательных центра треугольника образуют ортоцентрическую систему точек.
- 4 трехкасательных центра треугольника лежат на внутренних биссектрисах треугольника или на их продолжениях. При этом 2 трехкасательных центра делят гармонически ту биссектрису, на которой они расположены и на ее продолжении.[4]. То есть гармоническую четвёрку образуют 4 точки: , где - основание внутренней биссектрисы, проведенной из вершины угла треугольника .
- Точка Фейербаха для данной вписанной или вневписанной окружности (трехкасательная окружность - по-английски "a tritangent circle ") является точкой пересечения 2 прямых Симсона, построенных для концов диаметра описанной онружности, проходящего через соответствующий центр вписанной или вневписанной окружности. Таким образом, точки Фейербаха могут быть построена без использования соответствующей вписанной или вневписанной окружности и касающейся ее окружности Эйлера[5].
Построение вневписанной окружности треугольника
[править | править код]Чтобы построить вневписанную окружность треугольника нужно[6]:
- Построить внешние углы для углов треугольника
- Провести биссектрисы построенных внешних углов до точки их пересечения. Точка пересечения биссектрис будет центром вневписанной окружности.
- Построить радиус окружности. Для этого провести перпендикуляр из точки пересечения биссектрис на продолжения одной из сторон.
- Провести окружность с центром в точке пересечения биссектрис и радиусом, равным длине построенного перпендикуляра.
Вневписанная окружность четырехугольника
[править | править код]Внеописанный четырёхугольник
[править | править код]- Внеописанный четырёхугольник — это выпуклый четырёхугольник, продолжения всех четырёх сторон которого являются касательными к окружности (вне четырёхугольника)[7]. Окружность называется вневписанной. Центр вневписанной окружности лежит на пересечении шести биссектрис.
- Замечание. Вписанную, описанную, а также вневписанную окружности можно провести не у всякого четырёхугольника. Если противоположные стороны выпуклого четырёхугольника ABCD пересекаются в точках E и F, то условием его внеописанности является любое из двух условий ниже:
Литература
[править | править код]- Геометрия по Киселёву, §144.
- Понарин Я. П. Элементарная геометрия. В 2 т. — М.: МЦНМО, 2004. — С. 44-48. — ISBN 5-94057-170-0.
- Mirko Radic, Zoran Kaliman, Vladimir Kadum. A condition that a tangential quadrilateral is also a chordal one // Mathematical Communications. — 2007. — Вып. 12.
Примечания
[править | править код]- ↑ Pathan, Alex, and Tony Collyer, "Area properties of triangles revisited, " Mathematical Gazette 89, November 2005, 495—497.
- ↑ Зетель С.И. Новая геометрия треугольника. Пособие для учителей. 2-е издание.. — М.: Учпедгиз, 1962. — С. 137-138, п. 126, теорема.
- ↑ College Geometry: An Introduction to the Modern Geometry of the Triangle and the Circle. Nathan Altshiller-Court. Mineola, New York: Dover Publication, Inc., 2012. - §b. The tritangent centers. P.73-78// https://books.google.ru/books?id=VXDWIOvqeaoC&pg=PA291&lpg=PA291&dq=In+geometry,+the+orthopole&source=bl&ots=doCvrYOPtl&sig=ACfU3U1vm-WH5Tr4sGC9cE52DCRf9qBjcA&hl=ru&sa=X&ved=2ahUKEwjq1ZWdiJDqAhWRrIsKHZF7BsYQ6AEwBnoECAoQAQ#v=onepage&q=In%20geometry%2C%20the%20orthopole&f=false Архивная копия от 30 июня 2020 на Wayback Machine
- ↑ College Geometry: An Introduction to the Modern Geometry of the Triangle and the Circle. Nathan Altshiller-Court. Mineola, New York: Dover Publication, Inc., 2012. - §120. Theorem (Fig. 51). P.74-75// https://books.google.ru/books?id=VXDWIOvqeaoC&pg=PA291&lpg=PA291&dq=In+geometry,+the+orthopole&source=bl&ots=doCvrYOPtl&sig=ACfU3U1vm-WH5Tr4sGC9cE52DCRf9qBjcA&hl=ru&sa=X&ved=2ahUKEwjq1ZWdiJDqAhWRrIsKHZF7BsYQ6AEwBnoECAoQAQ#v=onepage&q=In%20geometry%2C%20the%20orthopole&f=false Архивная копия от 30 июня 2020 на Wayback Machine
- ↑ College Geometry: An Introduction to the Modern Geometry of the Triangle and the Circle. Nathan Altshiller-Court. Mineola, New York: Dover Publication, Inc., 2012. - §648. Remark. P.273// https://books.google.ru/books?id=VXDWIOvqeaoC&pg=PA291&lpg=PA291&dq=In+geometry,+the+orthopole&source=bl&ots=doCvrYOPtl&sig=ACfU3U1vm-WH5Tr4sGC9cE52DCRf9qBjcA&hl=ru&sa=X&ved=2ahUKEwjq1ZWdiJDqAhWRrIsKHZF7BsYQ6AEwBnoECAoQAQ#v=onepage&q=In%20geometry%2C%20the%20orthopole&f=false Архивная копия от 30 июня 2020 на Wayback Machine
- ↑ Вневписанные окружности. Построение . Матвокс. Энциклопедия математики. mathvox.ru. Дата обращения: 6 ноября 2018. Архивировано 7 ноября 2018 года.
- ↑ Radic, Kaliman, Kadum, 2007, с. 33—52.
См. также
[править | править код]- Внеописанный четырёхугольник
- Вписанная и вневписанные в треугольник окружности
- Вписанная окружность
- Описанная окружность
- Теорема Мансиона
- Теорема о трезубце
- Теорема Фейербаха
- Треугольник точек касания вневписанных окружностей
Для улучшения этой статьи по математике желательно:
|