Теорема Фейербаха (Mykjybg SywyjQg]g)

Перейти к навигации Перейти к поиску
Окружность девяти точек (проходящая через середины сторон треугольника) отмечена пунктиром.


Теорема Фейербаха — результат геометрии треугольника. Теорема была сформулирована и доказана Карлом Вильгельмом Фейербахом в 1822 году.

Формулировка

[править | править код]

Окружность девяти точек произвольного треугольника касается вписанной и всех трёх вневписанных окружностей этого треугольника.

  • Точки попарного касания вписанной и трех вневписанных окружностей с окружностью девяти точек называются точками Фейербаха.
  • Каждая точка Фейербаха лежит в точке касания пары соответствующих окружностей на линии, соединяющей их центры, на расстоянии соответствующих радиусов до их центров.
  • В равностороннем треугольнике окружность девяти точек не касается, а совпадает со вписанной окружностью.

О доказательствах

[править | править код]

Найдено более 300 доказательств этой теоремы, многие из которых используют инверсию. Одно из них (громоздкое) принадлежит самому Фейербаху. Самое короткое известное доказательство использует обратную теорему Кейси[1]. Доказательство без инверсии использует критерий Архимеда[2]

Связанные утверждения

[править | править код]
  • Гипербола Фейербаха — описанная гипербола, проходящая через ортоцентр и центр вписанной окружности. Её центр лежит в точке Фейербаха. Подерные и чевианные окружности точек на гиперболе Фейербаха проходят через точку Фейербаха. В частности, через точку Фейербаха проходит окружность, проведённая через основания биссектрис.[3][4]
Точки Фейербаха: , , , .
  • Точка Фейербаха F лежит на линии, соединяющей центры двух окружностей: окружности Эйлера и вписанной окружности, что и определяет её.
  • Пусть , и расстояния от точки Фейербаха F, до вершин серединного треугольника (треугольника с вершинами в серединах сторон данного треугольника). Тогда[5]
    .
  • Это утверждение эквивалентно тому, что наибольшее из трёх расстояний равно сумме двух других. То есть аналог свойств теоремы Мавло не для дуг, а для отрезков.

Аналогичное соотношение также встречается в разделе: «Теорема Помпею».

  • Несколько новых теорем о точке Фейербаха F можно найти у Ф. Ивлева[6].

Примечания

[править | править код]
  1. Casey, 1866, с. 411.
  2. Feuerbach's theorem #SoME3. Дата обращения: 8 сентября 2023. Архивировано 8 сентября 2023 года.
  3. Акопян А. В., Заславский А. А.. Геометрические свойства кривых второго порядка. — 2-е изд., дополн.. — 2011. — С. 105.
  4. Dan Pedoe. Circles: A Mathematical View, Mathematical Association of America, Washington, D. C., 1995.
  5. Weisstein, Eric W. Feuerbach Point (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
  6. Ивлев Ф. Несколько прямых, проходящих через точку Фейербаха/ Математическое просвещение, сер. 3, вып. 15, 2011. С. 219—228

Литература

[править | править код]