Изогональное сопряжение (N[kikugl,uky vkhjx'yuny)

Изогона́льное сопряже́ние — геометрическое преобразование, получаемое отражением прямых, соединяющих исходные точки с вершинами заданного треугольника, относительно биссектрис углов треугольника.

Определение

Точки $P$ и $P^{*}$ называются изогонально сопряжёнными (устаревшие названия — изогональными, обратными^[1]) в треугольнике $\triangle ABC$ , если $\angle ABP=\angle CBP^{*}$ , $\angle BAP=\angle CAP^{*}$ , $\angle BCP=\angle ACP^{*}$ . Корректность данного определения можно доказать через теорему Чевы в синусной форме, существует и чисто геометрическое доказательство корректности этого определения. Изогональное сопряжение — преобразование, ставящее точке в соответствие изогонально сопряжённую ей. На всей плоскости за исключением прямых, содержащих стороны треугольника, изогональное сопряжение является взаимно-однозначным отображением.

Свойства

Изогональное сопряжение оставляет на месте только центры вписанной и вневписанных окружностей.
Точка, изогонально сопряжённая точке на описанной окружности — бесконечно удалённая. Направление, задаваемое этой точкой, перпендикулярно прямой Симсона исходной точки.
Если точки $P_{a}$ , $P_{b}$ , $P_{c}$ симметричны точке $P$ относительно сторон треугольника, то центр описанной окружности треугольника $P_{a}P_{b}P_{c}$ изогонально сопряжён точке $P$ .
Если в треугольник вписан эллипс, то его фокусы изогонально сопряжены.

Проекции двух изогонально сопряжённых точек на стороны лежат на одной окружности (верно и обратное) ^[2]. Центр этой окружности — середина отрезка между сопряжёнными точками. Частный случай — окружность девяти точек.
Последнее означает, что подерные окружности двух изогонально сопряженных точек совпадают. В частности, подерной окружностью ортоцентра и центра описанной окружности является окружность Эйлера. Подерной или педальной окружностью называют описанную окружность подерного треугольника.
Две точки треугольника изогонально сопряжены тогда и только тогда, когда произведения трёх их расстояний до трёх сторон треугольника равны ^[2].

Пары изогонально сопряженных линий

Образ прямой при изогональном сопряжении — коника, описанная около треугольника. В частности, изогонально сопряжены бесконечно удалённая прямая и описанная окружность, прямая Эйлера и гипербола Енжабека, ось Брокара и гипербола Киперта, линия центров вписанной и описанной окружности и гипербола Фейербаха.
Если коника $\alpha$ изогонально сопряжена прямой $l$ , то трилинейные поляры всех точек на $\alpha$ будут проходить через точку, изогонально сопряжённую трилинейному полюсу $l$ .
Некоторые известные кубики, например, кубика Томпсона (Thompson cubic), кубика Дарбу (Darboux cubic), кубика Нойберга (Neuberg cubic) изогонально самосопряжены в том смысле, что при изогональном сопряжении всех их точек в треугольнике снова получаются кубики.

Пары изогонально сопряжённых точек

Центр описанной окружности и ортоцентр (см. рисунок).
Точка пересечения медиан и точка Лемуана (точка пересечения симедиан).
Точка Жергонна и центр отрицательной гомотетии вписанной и описанной окружности.
Точка Нагеля и центр положительной гомотетии вписанной и описанной окружности (точка Веррьера).
Две точки Брока́ра
Точка Аполлония и точка Торричелли.
Центр вписанной окружности (инцентр) изогонально сопряжён сам себе.

Координатная запись

В барицентрических координатах изогональное сопряжение записывается как:

(x:y:z)\ \mapsto \left({\frac {a^{2}}{x}}:{\frac {b^{2}}{y}}:{\frac {c^{2}}{z}}\right)

,

где $a$ , $b$ , $c$ — длины сторон треугольника. В трилинейных координатах его запись имеет форму:

(x:y:z)\ \mapsto \left({\frac {1}{x}}:{\frac {1}{y}}:{\frac {1}{z}}\right)

,

поэтому они удобны при работе с изогональным сопряжением. В других координатах запись изогонального сопряжения более громоздка.

Вариации и обобщения

Аналогично можно определить изогональное сопряжение относительно многоугольника. Фокусы эллипсов, вписанных в многоугольник, также будут изогонально сопряжены. Однако не для всех точек изогонально сопряжённая точка будет определена: так, в четырёхугольнике геометрическое место точек, для которых изогональное сопряжение определено, есть некоторая кривая третьего порядка; для пятиугольника будет существовать лишь одна пара изогонально сопряжённых точек (фокусы единственного вписанного в него эллипса), а в многоугольниках с бо́льшим числом вершин в общем случае изогонально сопряжённых точек не будет.

Можно определить также изогональное сопряжение в тетраэдре, в трилинейных координатах оно будет записываться аналогично плоскому изогональному сопряжению^[3].

С изогональным сопряжением тесно связано антигональное сопряжение, упоминаемое в статье теорема Понселе.

Следствия

Из изогонального сопряжения можно вывести теорему Паскаля.

Примечания

↑ Д. Ефремов. Новая геометрия треугольника. Одесса, 1902
↑ ¹ ² Зетель С.И. Новая геометрия треугольника. Пособие для учителей. 2-е издание.. — М.: Учпедгиз, 1962. — С. 97, п. 80.
↑ Изогональное сопряжение в тетраэдре и его гранях (недоступная ссылка)

См. также

[1] Д. Ефремов. Новая геометрия треугольника. Одесса, 1902

[автоссылка1-2] ¹ ² Зетель С.И. Новая геометрия треугольника. Пособие для учителей. 2-е издание.. — М.: Учпедгиз, 1962. — С. 97, п. 80.

[3] Изогональное сопряжение в тетраэдре и его гранях (недоступная ссылка)

[1]

[2]

[3]