Гармоническая четвёрка точек — чётверка точек на проективной прямой, двойное отношение которых . В этом случае говорят также, что точки и гармонически сопряжены относительно и пишут .
Гармонической четвёркой прямых называется четвёрка прямых в проективной плоскости, проходящих через одну точку , для которых любая четвёрка точек , такая, что , находящаяся на одной прямой, является гармонической. В этом случае пишут .
Гармоническая четвёрка точек на комплексной плоскости лежит на одной прямой или окружности, и пары касательных в противоположных точках конкурентны диагонали.
Для любых трёх точек, лежащих на одной прямой, пользуясь гармоническими свойствами полного четырёхвершинника, можно построить четвёртую точку так, что получится гармоническая четвёрка точек.
На рисунке выше точки пересечения двух пар противоположных сторон ML и KN, MK и LN полного четырёхугольника MLNK (соответственно первые две точки A и B прямой), а также точки D и C пересечения соответственно диагоналей LK и MN с этой прямой (прямая AC), проходящей через эти точки, образуют гармоническую четвёрку точек A, B, C, D.
Построения последнего пункта (см. также рисунок) полностью дублирует следующая теорема[1]: Для точки K прямая Чевы (например LD) треугольника ALB и прямая MN, соединяющая основания M и N двух других прямых Чевы AN и BM, делят противоположную сторону AB гармонически.
Биссектрисы внутреннего и внешнего углов при одной вершине треугольника пересекают противоположную этой вершине сторону и соответственно её продолжение в двух точках, которые вместе с двумя концами этой стороны образуют гармоническую четвёрку точек[2].
Точка, гармонически сопряженная середине стороны треугольника, находится на продолжении этой стороны на бесконечности[3].
Гармоническая четвёрка на расширенной евклидовой плоскости
Если точка несобственная, то четвёрка гармоническая, если — середина отрезка .
Если — полный четырёхвершинник и его диагональные точки — несобственные, то на расширенной евклидовой плоскости — параллелограмм, а из его гармонических свойств следует, что точка пересечения его диагоналей делит их пополам.
Если — полный четырёхвершинник, у которого одна диагональная точка — несобственная, , то на расширенной евклидовой плоскости — трапеция, а из его гармонических свойств следует, что делит пополам.