Числа звёздчатого октаэдра (Cnvlg [f~[;cgmkik ktmgz;jg)

Перейти к навигации Перейти к поиску
124 магнитных шара, расположенные в форме звёздчатого октаэдра

Числа звёздчатого октаэдра (англ. stella octangula numbers) — фигурные числа, подсчитывающие число шаров, которые можно расположить внутри звёздчатого октаэдра. Эти числа равны: 0, 1, 14, 51, 124, 245, 426, 679, 1016, 1449, 1990, … (последовательность A007588 в OEIS) и в общем случае задаются уравнением [1][2]. Производящая функция чисел звёздчатого октаэдра: [1]

Поскольку звёздчатый октаэдр можно представить как комбинацию октаэдра и восьми тетраэдров меньшего размера, формула для чисел звёздчатого октаэдра представима как [1], где  — -ное октаэдрическое число, а  — -ное тетраэдрическое число. Поскольку [3], а [4], получим .

Рекуррентные формулы [5] и [5] позволяют вывести следующие равенства для чисел звёздчатого октаэдра: , [5].

Уравнение Люнггрена

[править | править код]

Единственные числа звёздчатого октаэдра, также являющиеся квадратами это и [5] Единственность нетривиального решения следует из единственности решения уравнения Люнггрена[англ.], диофантова уравнения [6][7].

Примечания

[править | править код]
  1. 1 2 3 Eric W. Weisstein. Stella Octangula Number (англ.). MathWorld--A Wolfram Web Resource. Дата обращения: 6 июля 2017. Архивировано 28 июня 2017 года.
  2. Conway, John; Guy, Richard (1996), The Book of Numbers, Springer, p. 51, ISBN 978-0-387-97993-9.
  3. Eric W. Weisstein. Octahedral Number (англ.). MathWorld--A Wolfram Web Resource. Дата обращения: 6 июля 2017. Архивировано 30 мая 2019 года.
  4. Eric W. Weisstein. Tetrahedral Number (англ.). MathWorld--A Wolfram Web Resource. Дата обращения: 6 июля 2017. Архивировано 10 июля 2017 года.
  5. 1 2 3 4 Elena Deza, Michel Marie Deza. Figurate Numbers. — Singapore: World Scientific, 2012. — P. 119-120. — 456 p. — ISBN 981-4355-48-8.
  6. W. Ljunggren. Zur Theorie der Gleichung x^2 + 1 = Dy^4 // Avh. Norsk. Vid. Akad. Oslo. — 1942. — С. 1-27.
  7. Richard K. Guy. Unsolved Problems in Number Theory / K.A. Bencsath, P.R. Halmos. — 3rd. — Springer. — P. 234-235. — 454 p. — (Problem Books in Mathematics). — ISBN 978-1-4419-1928-1.