Пятиугольное число (Hxmnrikl,uky cnvlk)

Перейти к навигации Перейти к поиску
Геометрическое представление первых пятиугольных чисел

Пятиугольные числа — один из классов классических многоугольных чисел. Последовательность пятиугольных чисел имеет вид (последовательность A000326 в OEIS):

1, 5, 12, 22, 35, 51, 70, 92, 117, 145, 176, 210, 247, 287, 330, 376, 425, 477…

Общая формула для -го по порядку пятиугольного числа:

Определение

[править | править код]

Пятиугольные числа, как и все прочие классические -угольные числа, можно определить как частичные суммы арифметической прогрессии, которая начинается с 1, а разность её для пятиугольных чисел равна :

Можно также определить -е пятиугольное число как сумму последовательных натуральных чисел:

Сумма -го квадратного числа с треугольным числом даёт -е пятиугольное число:

Эта теорема была впервые опубликована Никомахом («Введение в арифметику», II век)[1].

Наконец, ещё один способ определения пятиугольного числа — рекурсивный:

Пятиугольные числа тесно связаны с треугольными[1]:

Если в формуле указать для более общую последовательность:

то получатся обобщённые пятиугольные числа:

0, 1, 2, 5, 7, 12, 15, 22, 26, 35, 40, 51, 57, 70, 77, 92, 100, 117, 126, 145, 155... (последовательность A001318 в OEIS)

Леонард Эйлер обнаружил обобщённые пятиугольные числа в следующем тождестве:

Степени в правой части тождества образуют последовательность обобщённых пятиугольных чисел[2].

Проверка на пятиугольное число

[править | править код]

Задача. Выяснить, является ли заданное натуральное число пятиугольным.

Решение. Вычислим значение выражения:

является пятиугольным числом тогда и только тогда, когда — целое число, причём номер в последовательности пятиугольных чисел равен

Квадратные пятиугольные числа

[править | править код]

Существуют числа, одновременно квадратные и пятиугольные[3]:

0, 1, 9801, 94109401, 903638458801, 8676736387298001, 83314021887196947001, 799981229484128697805801… (последовательность A036353 в OEIS

Примечания

[править | править код]
  1. 1 2 Dickson, 2005, p. 2.
  2. Вайнштейн Ф. В. Разбиение чисел. : [арх. 9 августа 2019] // Журнал «Квант». — 1988. — № 11.
  3. Weisstein, Eric W. "Pentagonal Square Number Архивная копия от 13 ноября 2017 на Wayback Machine." From MathWorld--A Wolfram Web Resource.

Литература

[править | править код]
  • Деза Е., Деза М. Фигурные числа. — М.: МЦНМО, 2016. — 349 с. — ISBN 978-5-4439-2400-7.
  • Dickson L. E. Polygonal. pyramidal and figurate numbers // History of the Theory of Numbers. — New York : Dover, 2005. — Vol. 2: Diophantine Analysis. — P. 22—23.