Хи-распределение (}n-jgvhjy;ylyuny)

Перейти к навигации Перейти к поиску
Распределение хи
Plot of the Chi PMFПлотность вероятности
Plot of the Chi CMFФункция распределения
Параметры (степени свободы)
Носитель
Плотность вероятности
Функция распределения
Математическое ожидание
Медиана примерно
Мода если
Дисперсия
Коэффициент асимметрии
Коэффициент эксцесса
Дифференциальная энтропия
Производящая функция моментов См. в тексте
Характеристическая функция См. в тексте

Хи-распределение — непрерывное вероятностное распределение случайной величины, являющейся квадратным корнем суммы квадратов независимых нормальных случайных величин. Оно связано с хи-квадрат распределением и является распределением квадратного корня случайной величины, распределённой по закону .

Если являются независимыми, нормально распределёнными случайными величинами с нулевым математическим ожиданием (средним) и дисперсией равной 1, то статистика

распределена по закону хи. Соответственно, если оценку среднеквадратического отклонения разделить на , где — среднее хи-распределения, то получится несмещённая оценка среднеквадратического отклонения нормального распределения. Хи-распределение имеет один параметр — , который задаёт число степеней свободы (то eсть количество ).

Самые известные примеры — распределение Рэлея (число степеней свободы равно двум) и статистика Максвелла — Больцмана (число степеней свободы — три).

Определение

[править | править код]

Плотность вероятности

[править | править код]

Плотность вероятности хи распределения равна

где  — гамма-функция.

Функция распределения

[править | править код]

Функция распределения равна:

где  — регуляризованная гамма-функция.

Производящие функции

[править | править код]

Производящая функция моментов равна:

где  — вырожденная гипергеометрическая функция Куммера. Характеристическая функция равна:

Моменты вычисляются по формуле:

где гамма-функция. Первые шесть моментов задаются по следующим формулам:

где правые выражения получены, используя рекуррентное соотношение для гамма-функции:

Также из этих выражений можно получить следующие формулы:

Среднее:

Дисперсия: — из выражений для первых двух моментов.

Коэффициент асимметрии:

Коэффициент эксцесса:

Дифференциальная энтропия задаётся по формуле:

где полигамма-функция.

Связь с другими распределениями

[править | править код]
Виды распределений хи и хи-квадрат
Название Статистика
хи-квадрат распределение
нецентральное хи-квадрат распределение
хи-распределение
нецентральное хи-распределение

Литература

[править | править код]
  • Martha L. Abell, James P. Braselton, John Arthur Rafter, John A. Rafter, Statistics with Mathematica (1999), 237f.
  • Jan W. Gooch, Encyclopedic Dictionary of Polymers vol. 1 (2010), Appendix E, p. 972.