Дигамма-функция
ψ
(
x
)
{\displaystyle \psi (x)}
Тригамма-функция
ψ
′
(
x
)
{\displaystyle \psi '(x)}
Тетрагамма-функция
ψ
″
(
x
)
{\displaystyle \psi ''(x)}
Пентагамма-функция
ψ
‴
(
x
)
{\displaystyle \psi '''(x)}
Полига́мма-фу́нкция порядка m в математике определяется как (m +1)-я производная натурального логарифма гамма-функции ,
ψ
(
m
)
(
z
)
=
d
m
d
z
m
ψ
(
z
)
=
d
m
+
1
d
z
m
+
1
ln
Γ
(
z
)
,
{\displaystyle \psi ^{(m)}(z)={\frac {{\rm {d}}^{m}}{{\rm {d}}z^{m}}}\psi (z)={\frac {{\rm {d}}^{m+1}}{{\rm {d}}z^{m+1}}}\ln \Gamma (z)\;,}
где
Γ
(
z
)
{\displaystyle \Gamma (z)}
гамма-функция , а
ψ
(
z
)
=
ψ
(
0
)
(
z
)
=
Γ
′
(
z
)
Γ
(
z
)
{\displaystyle \psi (z)=\psi ^{(0)}(z)={\frac {\Gamma '(z)}{\Gamma (z)}}}
— дигамма-функция [ 1]
ψ
(
z
)
=
ψ
(
0
)
(
z
)
=
−
γ
+
∑
k
=
0
∞
(
1
k
+
1
−
1
k
+
z
)
,
{\displaystyle \psi (z)=\psi ^{(0)}(z)=-\gamma +\sum \limits _{k=0}^{\infty }\left({\frac {1}{k+1}}-{\frac {1}{k+z}}\right)\;,}
где
γ
{\displaystyle {\textstyle {\gamma }}}
постоянная Эйлера—Маскерони . Это представление справедливо для любого комплексного
z
≠
0
,
−
1
,
−
2
,
−
3
,
…
{\displaystyle z\neq 0,\;-1,\;-2,\;-3,\ldots }
ψ
(
z
)
{\displaystyle {\textstyle {\psi (z)}}}
[ 2]
Полигамма-функцию также можно определить через сумму ряда
ψ
(
m
)
(
z
)
=
(
−
1
)
m
+
1
m
!
∑
k
=
0
∞
1
(
z
+
k
)
m
+
1
,
m
>
0
,
{\displaystyle \psi ^{(m)}(z)=(-1)^{m+1}\;m!\;\sum \limits _{k=0}^{\infty }\displaystyle {\frac {1}{(z+k)^{m+1}}}\;,\qquad m>0\;,}
который получается из представления для дигамма-функции дифференцированием по z [ 1]
z
≠
0
,
−
1
,
−
2
,
−
3
,
…
{\displaystyle z\neq 0,\;-1,\;-2,\;-3,\ldots }
ψ
(
m
)
(
z
)
{\displaystyle {\textstyle {\psi ^{(m)}(z)}}}
m +1)). Оно может быть записано через дзета-функцию Гурвица [ 1]
ψ
(
m
)
(
z
)
=
(
−
1
)
m
+
1
m
!
ζ
(
m
+
1
,
z
)
.
{\displaystyle \psi ^{(m)}(z)=(-1)^{m+1}\;m!\;\zeta (m+1,z)\;.}
В этом смысле дзета-функция Гурвица может быть использована для обобщения полигамма-функции на случай произвольного (нецелого) порядка m .
Отметим, что в литературе
ψ
(
m
)
(
z
)
{\displaystyle {\textstyle {\psi ^{(m)}(z)}}}
ψ
m
(
z
)
{\displaystyle {\textstyle {\psi _{m}(z)}}}
z . Функция
ψ
′
(
z
)
=
ψ
(
1
)
(
z
)
{\displaystyle {\textstyle {\psi '(z)=\psi ^{(1)}(z)}}}
тригамма-функцией ,
ψ
″
(
z
)
=
ψ
(
2
)
(
z
)
{\displaystyle {\textstyle {\psi ''(z)=\psi ^{(2)}(z)}}}
ψ
‴
(
z
)
=
ψ
(
3
)
(
z
)
{\displaystyle {\textstyle {\psi '''(z)=\psi ^{(3)}(z)}}}
ψ
(
4
)
(
z
)
{\displaystyle {\textstyle {\psi ^{(4)}(z)}}}
Полигамма-функция может быть представлена как
ψ
(
m
)
(
z
)
=
(
−
1
)
m
+
1
∫
0
∞
t
m
e
−
z
t
1
−
e
−
t
d
t
{\displaystyle \psi ^{(m)}(z)=(-1)^{m+1}\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{m}e^{-zt}}{1-e^{-t}}}{\rm {d}}t}
Это представление справедливо для Re z >0 и m > 0m =0 (для дигамма-функции ) интегральное представление может быть записано в виде
ψ
(
z
)
=
ψ
(
0
)
(
z
)
=
−
γ
+
∫
0
∞
e
−
t
−
e
−
z
t
1
−
e
−
t
d
t
=
−
γ
+
∫
0
1
1
−
t
z
−
1
1
−
t
d
t
,
{\displaystyle \psi (z)=\psi ^{(0)}(z)=-\gamma +\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-t}-e^{-zt}}{1-e^{-t}}}{\rm {d}}t=-\gamma +\int _{0}^{1}{\frac {1-t^{z-1}}{1-t}}{\rm {d}}t\;,}
где
γ
{\displaystyle {\textstyle {\gamma }}}
постоянная Эйлера—Маскерони .
При
z
→
∞
{\displaystyle z\to \infty \;}
|
arg
z
|
<
π
{\displaystyle \;|\operatorname {arg} \;{z}|<\pi }
чисел Бернулли :
ψ
(
m
)
(
z
)
=
(
−
1
)
m
−
1
[
(
m
−
1
)
!
z
m
+
m
!
2
z
m
+
1
+
∑
k
=
1
∞
(
2
k
+
m
−
1
)
!
B
2
k
(
2
k
)
!
z
2
k
+
m
]
{\displaystyle \psi ^{(m)}(z)=(-1)^{m-1}\left[{\frac {(m-1)!}{z^{m}}}+{\frac {m!}{2z^{m+1}}}+\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(2k+m-1)!\;B_{2k}}{(2k)!\;z^{2k+m}}}\right]}
Разложение в ряд Тейлора вблизи аргумента, равного единице, имеет вид
ψ
(
m
)
(
z
+
1
)
=
∑
k
=
0
∞
(
−
1
)
m
+
k
+
1
(
m
+
k
)
!
ζ
(
m
+
k
+
1
)
z
k
k
!
,
{\displaystyle \psi ^{(m)}(z+1)=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{m+k+1}(m+k)!\;\zeta (m+k+1)\;{\frac {z^{k}}{k!}}\;,}
где ζ обозначает дзета-функцию Римана . Этот ряд сходится при |z | < 1, и он может быть получен из соответствующего ряда для дзета-функции Гурвица .
Значения полигамма-функции при целых и полуцелых значениях аргумента выражаются через дзета-функцию Римана ,
ψ
(
m
)
(
1
)
=
(
−
1
)
m
+
1
m
!
ζ
(
m
+
1
)
,
m
>
0
{\displaystyle \psi ^{(m)}(1)=(-1)^{m+1}m!\;\zeta (m+1)\;,\qquad m>0}
ψ
(
m
)
(
1
2
)
=
(
−
1
)
m
+
1
m
!
(
2
m
+
1
−
1
)
ζ
(
m
+
1
)
,
m
>
0
,
{\displaystyle \psi ^{(m)}({\tfrac {1}{2}})=(-1)^{m+1}m!\;(2^{m+1}-1)\;\zeta (m+1)\;,\qquad m>0\;,}
а для дигамма-функции (при m =0) —
ψ
(
1
)
=
ψ
(
0
)
(
1
)
=
−
γ
,
{\displaystyle \psi (1)=\psi ^{(0)}(1)=-\gamma \;,}
ψ
(
1
2
)
=
ψ
(
0
)
(
1
2
)
=
−
γ
−
2
ln
2
,
{\displaystyle \psi ({\tfrac {1}{2}})=\psi ^{(0)}({\tfrac {1}{2}})=-\gamma -2\ln {2}\;,}
где
γ
{\displaystyle {\textstyle {\gamma }}}
постоянная Эйлера—Маскерони [ 1]
Чтобы получить значения полигамма-функции при других целых (положительных) и полуцелых значениях аргумента, можно использовать рекуррентное соотношение, приведённое ниже.
Полигамма-функция удовлетворяет рекуррентному соотношению [ 1]
ψ
(
m
)
(
z
+
1
)
=
ψ
(
m
)
(
z
)
+
(
−
1
)
m
m
!
z
m
+
1
,
{\displaystyle \psi ^{(m)}(z+1)=\psi ^{(m)}(z)+{\frac {(-1)^{m}\;m!}{z^{m+1}}}\;,}
а также формуле дополнения[ 1]
ψ
(
m
)
(
1
−
z
)
+
(
−
1
)
m
+
1
ψ
(
m
)
(
z
)
=
(
−
1
)
m
π
d
m
d
z
m
cot
(
π
z
)
.
{\displaystyle \psi ^{(m)}(1-z)+(-1)^{m+1}\;\psi ^{(m)}(z)=(-1)^{m}\pi {\frac {{\rm {d}}^{m}}{{\rm {d}}z^{m}}}\cot(\pi z)\;.}
Для полигамма-функции кратного аргумента существует следующее свойство[ 1]
ψ
(
m
)
(
k
z
)
=
1
k
m
+
1
∑
n
=
0
k
−
1
ψ
(
m
)
(
z
+
n
k
)
,
m
>
0
{\displaystyle \psi ^{(m)}(kz)={\frac {1}{k^{m+1}}}\sum _{n=0}^{k-1}\psi ^{(m)}\left(z+{\frac {n}{k}}\right),\qquad m>0}
а для дигамма-функции (
m
=
0
{\displaystyle m=0}
k [ 1]
ψ
(
k
z
)
=
ln
k
+
1
k
∑
n
=
0
k
−
1
ψ
(
z
+
n
k
)
.
{\displaystyle \psi (kz)=\ln {k}+{\frac {1}{k}}\sum _{n=0}^{k-1}\psi \left(z+{\frac {n}{k}}\right).}
![{\displaystyle \psi ^{(m)}(z)=(-1)^{m-1}\left[{\frac {(m-1)!}{z^{m}}}+{\frac {m!}{2z^{m+1}}}+\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(2k+m-1)!\;B_{2k}}{(2k)!\;z^{2k+m}}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e9815dceb33658d8bdf85aa21540ea53f728ee3)
