Функция распределения (статистическая физика) (Srutenx jgvhjy;ylyunx (vmgmnvmncyvtgx sn[ntg))
Функция статистического распределения (функция распределения в статистической физике) — плотность вероятности в фазовом пространстве. Одно из основополагающих понятий статистической физики. Знание функции распределения полностью определяет вероятностные свойства рассматриваемой системы.
Механическое состояние любой системы однозначно определяется координатами и импульсами её частиц (i=1,2,…, d; d — число степеней свободы системы). Набор величин и образуют фазовое пространство.
Полная функция статистического распределения
[править | править код]Вероятность нахождения системы в элементе фазового пространства , с точкой (q, p) внутри, даётся формулой:
Функцию называют полной функцией статистического распределения (или просто функцией распределения). Фактически она представляет собой плотность изображающих точек в фазовом пространстве. Функция удовлетворяет условию нормировки:
причём интеграл берётся по всему фазовому пространству. В соответствующем механике случае система находится в определённом микроскопическом состоянии, то есть обладает заданными и , и тогда
где (δ — функция Дирака). Помимо самих вероятностей различных микроскопических состояний, функция позволяет найти среднее статистическое значение любой физической величины — функции фазовых переменных q и p:
где «крышечка» означает зависимость от фазовых переменных, а скобка — статистическое усреднение.
Разобьём систему на малые, но макроскопические подсистемы. Можно утверждать о статистической независимости таких подсистем вследствие их слабого взаимодействия с окружением (во взаимодействии с окружением принимают участие лишь частицы, близкие к границе подсистемы; в случае макроскопичности подсистемы их число мало по сравнению с полным числом её частиц). Статистическая независимость подсистем приводит к следующему результату для функции распределения
Индекс n относится к n-й подсистеме. Каждую из функций можно считать нормированной в соответствии с условием (2). При этом автоматически будет нормирована и функция . Понятие о статистической независимости является приближенным. Приближенным в свою очередь является и равенство (3): оно не учитывает корреляции частиц, принадлежащих различным подсистемам. Существенно, однако, что в обычных физических условиях корреляции быстро ослабевают по мере удаления частиц (или групп частиц) друг от друга. Для системы существует характерный параметр — радиус корреляций, вне которого частицы ведут себя статистически независимо. В подсистемах макроскопических размеров подавляющее число частиц одной подсистемы лежит вне радиуса корреляций от частиц другой, и по отношению к этим частицам равенство (3) справедливо.
Математически задание полной функции распределения равносильно заданию бесконечного числа независимых величин — её значений на континууме точек фазового пространства колоссальной размерности 2d (для макроскопических систем d ~ , где — число Авогадро).
Неполное описание
[править | править код]В более реальном случае неполного измерения становятся известны вероятности значений или даже средние значения лишь некоторых физических величин . Число их обычно бывает много меньше размерности фазового пространства системы. Функция распределения вероятностей значений дается равенством
где . Функция распределения может быть названа неполной. Очевидно, она позволяет найти вероятности значений лишь физических величин , зависимость которых от фазовых переменных осуществляется через . Для таких же величин она позволяет найти и средние значения:
где и интегрирование ведется по всем возможным значениям . Конечно, средние значения величин можно было бы найти с помощью полной функции распределения , если бы она была известна. Для функции так же, как и для полной функции распределения, справедливо условие нормировки:
Описание системы с помощью функции называется неполным описанием. Конкретными примерами служат описание с помощью функции распределения координат и импульсов отдельных частиц системы или описание с помощью средних значений масс, импульсов и энергий отдельных подсистем всей системы.
Временная эволюция функции распределения
[править | править код]Временная эволюция функции распределения подчиняется уравнению Лиувилля:
где — оператор Лиувилля, действующий в пространстве фазовых функций:
- ,
— функция Гамильтона системы. В случае, когда оператор Лиувилля не зависит от времени (), решение уравнения (4) имеет вид
Чтобы использовать (5) для фактического построения решения, нужно знать собственные функции и собственные значения оператора .
Пользуясь полнотой и ортонормированностью , напишем:
- ,
где (спектр предполагается дискретным). В итоге получим
См. также
[править | править код]Литература
[править | править код]- Гиббс Дж. В. «Основные принципы статистической механики» — М. — Л., 1946. // Переиздано: Изд-во «Регулярная и хаотическая динамика», 2002. — 204 с. ISBN 5-93972-127-3.
- Балеску Р. Равновесная и неравновесная статистическая механика. В двух томах. — М.: Мир, 1978.
- Березин Ф. А. Лекции по статистической физике. — Москва — Ижевск: Институт. компьютерных исследований, 2002. — 192с. (2-е изд, испр. Изд-во: МЦНМО, 2008. — 200 с. ISBN 978-5-94057-352-4)
- Боголюбов Н. Н. Проблемы динамической теории в статистической физике. — М.— Л.: ОГИЗ. Гостехиздат, 1946.
- Боголюбов Н. Н. Избранные труды по статистической физике. — М.: Изд-во МГУ, 1979.
- Боголюбов Н. Н. Собрание научных трудов. В 12 томах. Т. 5: «Неравновесная статистическая механика, 1939—1980». — М.: Наука, 2006. ISBN 5020341428.
- Власов А. А. Нелокальная статистическая механика. — М.: Наука, 1978.
- Зубарев Д. Н., Морозов В. Г., Репке Г. Статистическая механика неравновесных процессов. Том 1. — М.: Физматлит, 2002. — 432 с. ISBN 5-9221-0211-7, ISBN 5-9221-0210-9.
- Пригожин И. Неравновесная статистическая механика. — Изд-во: Едиториал УРСС, 2005. — 312 с. ISBN 5-354-01004-7
- Хинчин А. Я. Математические основания статистической механики. — Изд-во: Регулярная и хаотическая динамика, 2003. — 128с. ISBN 5-93972-273-3
- Рюэль Д. Статистическая механика. Строгие результаты. — М.: Мир, 1971. — 368с.
- Крылов Н. С. Работы по обоснованию статистической физики. — М.-Л.: Из-во АН СССР, 1950.
- Кубо Р. Статистическая механика. — М.: Мир, 1967.
- Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Статистическая физика. Часть 1. — («Теоретическая физика», том V).
- Терлецкий Я. П. Статистическая физика. (2-е изд.). — М.: Высшая школа, 1973.
- Уленбек Дж., Форд Дж. Лекции по статистической механике. — М.: Мир, 1965.]
- Хуанг К. Статистическая механика. — М.: Мир, 1966.