Модель Изинга (Bk;yl, N[nuig)

Модель Изинга — математическая модель статистической физики, предназначенная для описания намагничивания материала.

Описание

Каждой вершине кристаллической решётки (рассматриваются не только трёхмерные, но и одно- и двумерные случаи) сопоставляется число, называемое спином и равное +1 или −1 («поле вверх»/«поле вниз»). Каждому из $2^{N}$ возможных вариантов расположения спинов (где $N$ — число атомов решётки) приписывается энергия, получающаяся из попарного взаимодействия спинов соседних атомов:

$E(S)=-J\sum _{i\sim j}S_{i}S_{j}\,,$

где $J$ — энергия взаимодействия (в простейшем случае одна и та же для всех пар соседних атомов). Иногда также рассматривается внешнее поле $h$ (часто полагаемое малым):

$H=-J\sum _{i\sim j}S_{i}S_{j}-h\sum _{i}S_{i}.$

Затем, для заданной обратной температуры $\beta =1/k_{B}T$ на получившихся конфигурациях рассматривается распределение Гиббса: вероятность конфигурации полагается пропорциональной $e^{-\beta E(S)}$, и исследуется поведение такого распределения при очень большом числе атомов $N$.

Например, в моделях с размерностью, большей 1, имеет место фазовый переход второго рода: при достаточно низких температурах большая часть спинов ферромагнетика (при $J>0$) будет ориентирована (с близкой к 1 вероятностью) одинаково, а при высоких почти наверняка спинов «вверх» и «вниз» будет почти поровну. Температура, при которой происходит этот переход (иными словами, при которой исчезают магнитные свойства материала), называется критической, или точкой Кюри. В окрестности точки фазового перехода ряд термодинамических характеристик расходится. Опыт показывает, что расходимость имеет универсальный характер, и определяется лишь симметрией системы. Впервые критические индексы расходимостей были получены для двумерной модели Изинга в 40-х годах Л. Онсагером. Для остальных размерностей исследования проводятся с помощью методов компьютерного моделирования и ренормгруппы. Обоснованием применения ренормализационной группы в данном случае являются блочное построение Каданова и термодинамическая гипотеза подобия.

Введённая изначально для понимания природы ферромагнетизма, модель Изинга оказалась в центре разнообразных физических теорий, относящихся к критическим явлениям, жидкостям и растворам, спиновым стёклам, клеточным мембранам, моделированию иммунной системы, различным общественным явлениям и т. д. Кроме того, эта модель служит полигоном для проверки методов численного моделирования различных физических явлений.

Для одномерной и двумерной моделей Изинга получены точные решения: для одномерной модели самим Изингом, для двумерной — Онсагером в 1944 году.

Одномерная модель Изинга

В случае одного измерения модель Изинга может быть представлена в виде цепочки взаимодействующих спинов. Для такой модели найдено точное решение, но в общем случае задача не имеет аналитического решения.

Алгоритм реализации модели Изинга методом Монте-Карло на компьютере

1. Создать решётку спинов (двумерный массив), спины ориентированы произвольно.
2. Выбрать случайно одну из клеток решётки, стереть значение в ней.
3. Вычислить энергии конфигураций при заполнении этой клетки спином вверх и вниз (либо при всех возможных состояниях, если их больше двух).
4. Выбрать один из вариантов для «стёртого» спина случайно, с вероятностью, пропорциональной $e^{-\beta E(S)}$, где $E(S)$ — энергия в соответствующем состоянии (поскольку все слагаемые, не затрагивающие данный спин, одни и те же, на самом деле вычислять нужно только суммы по соседям).
5. Возвращаемся в пункт 2; по выполнении достаточного числа итераций (определение этого — отдельная и непростая задача) цикл прекращается.

Приложения

В 1982 году Хопфилдом был доказан изоморфизм модели Изинга и рекуррентных моделей нейронных сетей.

Квантовый компьютер компании D-Wave Systems основан на модели Изинга. Однако эффективность компьютера вызывает вопросы, что явилось причиной новых исследований, цель которых корректно сравнить классические алгоритмы и алгоритмы для компьютеров DWave. Оказалось, что существуют задачи, на которых адиабатический квантовый компьютер заведомо не является эффективнее классического.

См. также

• Решёточная модель (физика)
• Нейронная сеть Хопфилда
• Станислав Смирнов — лауреат Филдсовской премии (2010) «за доказательство конформной инвариантности двумерной перколяции и модели Изинга в статистической физике»