Производная Ли тензорного поля
по направлению векторного поля
— главная линейная часть приращения тензорного поля
при его преобразовании, которое индуцировано локальной однопараметрической группой диффеоморфизмов многообразия, порождённой полем
.
Названа в честь норвежского математика Софуса Ли.
Обычно обозначается
.
Производная Ли полностью определяется следующими своими свойствами.
Такое определение наиболее удобно для практических вычислений, но требует доказательства существования.
- Производная Ли
от скалярного поля
есть производная
по направлению
.
![{\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}f=Xf.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/35fff8f3cd7b338484017d359099a666c1b53440)
- Производная Ли
от векторного поля
есть скобка Ли векторных полей. (Производная Ли от поля
по направлению поля
).
![{\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}Y=[X,Y].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/82c1414ead461a5629b96daa6359093d67abcba6)
- Для произвольных векторных полей и 1-формы
выполняется равенство (тождество Картана)
![{\displaystyle ({\mathcal {L}}_{X}\alpha )(Y)=(d\alpha )(X,Y)+Y\alpha (X).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/93db9720181b4f0617efb9ccfe56e5242db5d439)
- (правило Лейбница) Для произвольных тензорных полей S и T выполняется
![{\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}(S\otimes T)=({\mathcal {L}}_{X}S)\otimes T+S\otimes ({\mathcal {L}}_{X}T).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a849411e128b1b0c78d6b681ead2b755e72177fb)
(линейность)
Пусть
—
-мерное гладкое многообразие и
— векторное поле на
.
Рассмотрим поток
по
, определяемый соотношениями
.
Обратное отображение к дифференциалу
,
![{\displaystyle (d_{p}\Gamma _{X}^{t})^{-1}\colon T_{\Gamma _{X}^{t}(p)}\to T_{p}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/80f20e96016c7e00d36d990ff226663636e81984)
однозначно продолжается до гомоморфизма
алгебры тензоров над
в алгебру тензоров над
.
Таким образом, произвольное тензорное поле
определяет однопараметрическое семейство полей
.
Производная Ли может быть определена как
![{\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}Q={\frac {d}{dt}}Q_{t}|_{t=0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c6c066e7f3364397dc438d991d3f173394ae0a6c)
![{\displaystyle {\mathcal {L}}_{\xi }f=\xi ^{k}\partial _{k}f,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c4de5bb270878c0dc72ef9f6b4b4bea0b883c54a)
где
— скаляр.
![{\displaystyle {\mathcal {L}}_{\xi }y=\xi ^{k}\partial _{k}y^{i}-y^{k}\partial _{k}\xi ^{i},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d33649cc7cc27c532be3b3170996d131ffb99ff5)
где
— вектор, а
— его компоненты.
![{\displaystyle {\mathcal {L}}_{\xi }\omega =\xi ^{k}\partial _{k}\omega _{i}+\omega _{k}\partial _{i}\xi ^{k},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb8acfb92353bdd019ee9614cc734d26328b75f7)
где
— 1-форма, а
— её компоненты.
![{\displaystyle {\mathcal {L}}_{\xi }g=\xi ^{k}\partial _{k}g_{ij}+\partial _{i}\xi ^{k}g_{kj}+\partial _{j}\xi ^{k}g_{ik},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/777dc8a64c883c59cbd2735a81fbf30d55f6ecf2)
где
— метрический тензор, а
— его компоненты.
Пусть тензорное поле К типа (p, q) задано в неголономном репере
, тогда его производная Ли вдоль векторного поля Х задаётся следующей формулой:
,
где
и введены следующие обозначения:
,
— объект неголономности.
-линейно по
и по
. Здесь
— произвольное тензорное поле.
- Производная Ли — дифференцирование на кольце тензорных полей.
- На супералгебре внешних форм производная Ли является дифференцированием и однородным оператором степени 0.
- Пусть
и
— векторные поля на многообразии, тогда
есть дифференцирование алгебры
, поэтому существует векторное поле
, для которого
. Это векторное поле называется скобкой Ли полей u и v (также их скобкой Пуассона или коммутатором).
- Формула гомотопии (тождество Картана):
![{\displaystyle {\mathcal {L}}_{v}\omega =i_{v}d\omega +di_{v}\omega .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb44a3c0056102c74ff1acdf602e95727634e6fc)
- Здесь
— дифференциальная
-форма,
— оператор внутреннего дифференцирования форм, определяемый как
.
- Как следствие,
![{\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}d\omega =d{\mathcal {L}}_{X}\omega ,\;\omega \in \Lambda ^{*}(M)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5154583ff8daaf2b89bce378811cf8d4a48933e)
. Здесь
— гладкое сечение (естественного) векторного расслоения
(например, любое тензорное поле),
— поднятие векторного поля
на
,
— оператор вертикального проектирования на
. (См. далее)
Пусть векторное поле
есть поле скоростей неинерциальной системы отсчёта относительно инерциальной системы отсчёта, то есть в каждой точке пространства
в каждый момент времени
определена скорость координатных сеток этих систем относительно друг друга. Тогда производная Ли вдоль векторного поля
переносит производную по времени от каких-либо тензорных полей
из неинерциальной системы отсчёта в инерциальную, тем самым определяя инвариантную производную по времени от тензорных полей.
Пусть
— естественное гладкое расслоение, то есть функтор, действующий из категории гладких многообразий в категорию расслоений над ними:
. Произвольное векторное поле
порождает однопараметрическую группу диффеморфизмов
, продолжающуюся с помощью
на пространство расслоения
, то есть
. Производная этой группы в нуле даёт векторное поле
, являющееся продолжением
. Группа
также позволяет определить производную Ли по
от произвольных сечений
по такой же формуле, как и в классическом случае:
![{\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}(s)=\left.{\frac {d}{dt}}\right|_{t=0}F(\Gamma ^{t})^{*}s=\left.{\frac {d}{dt}}\right|_{t=0}(F(\Gamma ^{-t})\circ s\circ \Gamma ^{t})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d30fc2805137980272d2063a361b34e0f8470e42)
![{\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}(s)=Ts\circ X-X^{F}\circ s}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a6ad2dba11edd1c2b48634e22c8e88ffb1bd6c1)
Отметим, что в общем случае производная Ли является элементом соответствующего вертикального расслоения
, то есть ядра отображения
, так как
. Если
— векторное расслоение, то существует канонический изоморфизм
. Оператор вертикального проектирования
позволяет представить производную Ли как сечение исходного расслоения:
![{\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}(s)=\mathop {vpr} _{F}(Ts\circ X-X^{F}\circ s)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c78698979724f9f648760e5686f36ed57e08456c)
Другое обобщение основано на исследовании супералгебры Ли дифференцирований супералгебры внешних форм. Среди всех таких дифференцирований особенно выделяются так называемые алгебраические, то есть те, которые равны 0 на функциях. Любое такое дифференцирование имеет вид
, где
— тангенциальнозначная форма, а оператор внутреннего дифференцирования
определяется по формуле
![{\displaystyle i_{K}\omega =\mathrm {Alt} (\omega \circ (K\otimes id^{\otimes p}))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/379309024ef6be74b8810e66a99ea5b31cb033d3)
Здесь
— операция альтернирования отображения по всем переменным. Производная Ли по векторнозначной форме
определяется через суперкоммутатор операторов:
![{\displaystyle {\mathcal {L}}_{K}=[i_{K},d]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d5487d20a10012922c3632d13332ff85d4ae42b2)
Её значение определяется тем, что любое дифференцирование
супералгебры
однозначно представимо в виде
, где
,
— некоторые векторнозначные формы. Кроме того, по формуле
можно ввести скобку Фролиха-Ниенхойса тангенциальнозначных форм.