Производная Пеано ― одно из обобщений понятия производной .
Пусть имеет место равенство
f
(
x
)
=
a
0
+
a
1
(
x
−
x
0
)
+
⋯
+
a
r
r
!
(
x
−
x
0
)
r
+
γ
(
x
)
(
x
−
x
0
)
r
{\displaystyle f(x)=a_{0}+a_{1}(x-x_{0})+\cdots +{\frac {a_{r}}{r!}}(x-x_{0})^{r}+\gamma (x)(x-x_{0})^{r}}
где
a
0
,
a
1
,
…
,
a
r
{\displaystyle a_{0},a_{1},\dots ,a_{r}}
γ
(
x
)
→
0
{\displaystyle \gamma (x)\to 0}
x
→
x
0
{\displaystyle x\to x_{0}}
γ
(
x
0
)
=
0
{\displaystyle \gamma (x_{0})=0}
a
r
{\displaystyle a_{r}}
r
{\displaystyle r}
f
{\displaystyle f}
x
0
{\displaystyle x_{0}}
Обозначение:
f
(
r
)
(
x
0
)
=
a
r
{\displaystyle f_{(r)}(x_{0})=a_{r}}
f
(
0
)
(
x
0
)
=
f
(
x
0
)
{\displaystyle f_{(0)}(x_{0})=f(x_{0})}
f
(
1
)
(
x
0
)
=
f
′
(
x
0
)
{\displaystyle f_{(1)}(x_{0})=f'(x_{0})}
Если существует
f
(
r
)
(
x
0
)
{\displaystyle f^{(r)}(x_{0})}
f
(
k
)
(
x
0
)
{\displaystyle f_{(k)}(x_{0})}
k
≤
r
{\displaystyle k\leq r}
Если существует конечная обычная двусторонняя производная
f
(
r
)
(
x
0
)
{\displaystyle f^{(r)}(x_{0})}
f
(
r
)
(
x
0
)
=
f
(
r
)
(
x
0
)
{\displaystyle f_{(r)}(x_{0})=f^{(r)}(x_{0})}
r
>
1
{\displaystyle r>1}
f
(
x
)
=
x
n
D
(
x
)
{\displaystyle f(x)=x^{n}D(x)}
D
{\displaystyle D}
функция Дирихле все
f
(
r
)
(
0
)
=
0
{\displaystyle f_{(r)}(0)=0}
r
<
n
{\displaystyle r<n}
f
(
r
)
(
0
)
{\displaystyle f^{(r)}(0)}
r
>
1
{\displaystyle r>1}
