Представление фазового пространства (Hjy;vmgflyuny sg[kfkik hjkvmjguvmfg)
В представлении фазового пространства квантовая механика трактует единообразно как координаты, так и импульсы частиц, которые образуют фазовое пространство, в отличие от трактовки Шредингера, где используется координатное или импульсное представления (см. координатное и импульсное пространства[англ.]). Два ключевых элемента физической картины в представлении фазового пространства состоят в следующем: квантовое состояние описывается квазивероятностным распределением (вместо волновой функции, векторами состояний или матрицей плотности), и оператор умножения заменяется звёздочным произведением.
Теория была полностью разработана Хилбрандом Груневолдом в 1946 году в своей кандидатской диссертации[1] и независимо Джо Моялем[2]. Каждая из этих работ базировались на более ранних идеях, сформулированных Германом Вейлем[3] и Юджином Вигнером[4].
Главное преимущество квантовой механики в представлении фазового пространства заключается в том, что оно делает квантовую механику аналогичной гамильтоновой механике, избегая формализма операторов, тем самым «освобождая» квантование от «бремени» Гильбертова пространства[5]. Эта формулировка носит статистический характер и предлагает логические связи между квантовой механикой и классической статистической механикой, что позволяет естественное сравнение между ними в так называемом классическом пределе, то есть при . Квантовая механика в фазовом пространстве часто выступает в определённых приложениях квантовой оптики (см. оптическое фазовое пространство[англ.]), при изучении декогеренции и целом ряде специальных технических проблем, хотя этот формализм редко используется на практике[6].
Концептуальные идеи, лежащие в основе развития квантовой механики в фазовом пространстве, воплотились в математических ответвлениях, таких как алгебраическая теория деформирования (см. формула квантования Концевича[англ.]) и некоммутативная геометрия.
Распределение в фазовом пространстве
[править | править код]Распределение в фазовое пространстве f(x,p), которое описывает квантовое состояние это квазивероятностное распределение[англ.]. В представлении фазового пространства, распределение можно рассматривать как основополагающее, примитивное описание квантовой системы, без каких-либо ссылок на волновые функции или матрицы плотности[7].
Существует несколько различных способов представления распределений, но все они взаимосвязаны[8][9]. Наиболее примечательным является представление Вигнера, W(x,p), обнаруженое первым. Другие представления (приблизительно в порядке убывания распространённости в литературе) включают P представление Глаубера — Сударшана[англ.][10][11], Q представление Хусими[англ.][12], представление Кирквуда — Рихачека, представление Мехты, представление Ривьера и представление Борна — Иордана[9][13]. Эти альтернативы наиболее полезны, когда гамильтониан принимает особую форму, например при нормальном порядке для операторов[англ.] в P представления Глаубера — Сударшана. Поскольку представление Вигнера является самым распространенным в литературе, то в этой статье, как правило, рассматривается оно, если не указано иное.
Распределение в фазовом пространстве обладает свойствами подобными плотности вероятности в 2n-мерном фазовом пространстве. Например, оно является вещественнозначным, в отличие от комплекснозначной волновой функции. Мы можем понимать вероятность, нахождения внутри координатного интервала. Например, путем интегрирования функция Вигнера по всем импульсам и по координатам в интервале [a,b] получим:
Если Â(x,p) — оператор, представляющий наблюдаемую величину, то ему можно сопоставить в фазовом пространстве, величину A(x, p) через преобразование Вигнера. Наоборот, этот оператор можно восстановить через преобразование Вейля.
Среднее значение наблюдаемой по отношению к распределению в фазовом пространстве задаётся выражением[14]
Однако, несмотря на внешнее сходство, W(x,p) не обладает всеми свойствами подлинного совместного распределения вероятностей, потому что области под ним не являются взаимно исключающими, как требуется в четвёртой аксиоме теории вероятности (аксиома аддитивности). Кроме того, оно может, в общем случае, принимать отрицательные значения[англ.] даже для чистых состояний, за уникальным исключением сжатых когерентных состояний и, соответственно, нарушать вторую аксиому Колмогорова.
Области с такими отрицательными значениями «малы»: они не могут распространяться на компактные области больше, чем несколько ħ, и, следовательно, исчезают в классическом пределе. Они защищены неопределенностью Гейзенберга, которая не позволяет точно локализовать частицу в пределах области фазового пространства меньше, чем ħ, и, таким образом, делает такие «отрицательные вероятности» менее парадоксальными. Если левую часть уравнения можно интерпретировать как среднее значение в гильбертовом пространстве по отношению к оператору, то в контексте квантовой оптики это уравнение известно как оптическая теорема эквивалентности[англ.]. (Подробнее о свойствах и интерпретации функции Вигнера, смотрите главную статью.)
Альтернативный подход к квантовой механике в фазовом пространстве стремится определить волновую функцию (не только квазивероятностной плотности) на фазовом пространстве, обычно с помощью преобразования Сегала — Бергмана[англ.]. Для совместимости с принципом неопределенности, волновая функция в фазовом пространстве не может быть произвольной функцией, иначе частицу можно было бы локализовать в сколь угодно малой области фазового пространства. Скорее, преобразование Сегала — Бергмана является голоморфной функцией от x+ip. Существует квазивероятностная плотность, связанная с волновой функцией в фазовом пространстве; это Q представление Хусими волновой функции в координатном представлении.
Звёздочное произведение
[править | править код]Фундаментальный некоммутативный бинарный оператор в фазовом пространстве, который заменяет стандартный оператор умножения — это звёздочное произведение, обозначаемое символом ★. Каждое представление распределения в фазовом пространстве имеет различные звёздочные произведения. Для конкретности, здесь рассматривается звёздочное произведение, соответствующее представлению Вигнера — Вейля.
Для удобства вводятся обозначения для правой и левой производных. Для пары функций f и g левая и правая производные определяются как
Дифференциальное определение звёздочного произведения
где аргумент экспоненциальной функции представляется в виде степенного ряда. Введённые дифференциальные соотношения позволяют записать это выражение в виде разницы в аргументах f и g:
Также возможно переписать ★-произведение как конволюцию,[15] через преобразование Фурье:
Таким образом, например,[7] гауссианы преобразуются через гиперболическую функцию
или
и т. д..
Собственные состояния гамильтониана для распределений известны как «звёздочные состояния», ★-состояния или ★-собственные функции, а соответствующие им собственные значения известны как звёздочные собственные значения или ★-собственные значения. Эти решения находятся аналогично как для стационарного уравнения Шрёдингера, используя уравнения для ★-собственных значений[16][17],
где H — гамильтониан, простая функция в фазовом пространстве обычно аналогичная классическому гамильтониану.
Эволюция во времени
[править | править код]Эволюция во времени[англ.] распределения в фазовом пространстве задаётся квантовой модификацией лиувиллевского потока[2][9][18]. Эта формула является результатом применения преобразования Вигнера к версии квантового уравнения Лиувилля для матрицы плотности или уравнением фон Неймана.
В любом представлении распределения в фазовом пространстве со своим ассоциированным звёздочным произведением эволюция во времени определяется уравнением
или для функции Вигнера в частности
где {{ , }} — скобки Мояля, преобразование Вигнера квантового коммутатора, а { , } — классические скобки Пуассона.[2]
Это чёткий пример принципа соответствия: это уравнение явно сводится к классическому уравнению Лиувилля в пределе ħ → 0. Однако в квантовом потоке, плотность точек в фазовом пространстве не сохраняется, и вероятностная жидкость становится «диффузионной» и "сжимаемой"[2]. Таким образом, концепция траектории квантовой частицы не определяется точно. Учитывая ограничения, установленные принципом неопределенности в отношении локализации, Нильс Бор отрицал физическое существование таких траекторий в микроскопическом масштабе. С помощью формальных траекторий в фазовом пространстве, временное уравнение для функции Вигнера можно строго решить с помощью метода интегралов по траекториям[19] и метода квантовых характеристик[англ.][20], хотя есть неустранимые практические препятствия в обоих случаях. См. фильм для потенциала Морзе, ниже, чтобы оценить быстрое распространение потенциальных траекторий.
Примеры
[править | править код]Простой гармонический осциллятор
[править | править код]![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/6d/Wigner_functions.jpg/300px-Wigner_functions.jpg)
Гамильтониан для простого гармонического осциллятора в одномерном случае в представлении Вигнера — Вейля равен
Уравнение на ★-собственные значений для статической функции Вигнера имеет вид
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/5f/TwoStateWF.gif/300px-TwoStateWF.gif)
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/43/SmallDisplacedGaussianWF.gif/300px-SmallDisplacedGaussianWF.gif)
Рассмотрим сначала мнимую часть уравнения на ★-собственные значения.
Это означает, что можно записать ★-собственные значения как функцию одного аргумента,
С этой заменой переменных, можно записать действительную часть уравнения на ★-собственные значения в форме модифицированного уравнения Лагерра (не Эрмита), решения которого включают в себя полиномы Лагерра в виде[17]
введенные Груневолдом в его статье[1], которые соответствуют ★-собственным значениям
Для гармонического осциллятора эволюция во времени произвольного распределения Вигнера тривиальна. Начальная функция W(x,p; t=0) = F(u) развивается во времени с помощью приведенного выше уравнения для гамильтониана осциллятора — она просто жёстко вращается в фазовом пространстве,[1]
Как правило, «холм» (или когерентное состояние) энергии E ≫ ħω может представлять макроскопическую величину и выглядит как классический объект, равномерно вращающийся в фазовом пространстве и напоминает простой механический осциллятор (см. Анимированные фигуры). Интегрируя по всем фазам (начальные позиции при t = 0) таких объектов, непрерывный «палисад», дает не зависящую от времени конфигурацию, аналогичную приведенным выше статическим ★-состояниям F(u) и интуитивную визуализацию классического предела[англ.] для систем с большим действием.[6]
Угловой момент свободной частицы
[править | править код]Предположим, что частица первоначально находится в минимально неопределенном гауссовском состоянии, причем ожидаемые значения положения и импульса центрированы в начале координат в фазовом пространстве. Функция Вигнера для такого свободно распространяющегося состояния,
где α — параметр, описывающий начальную ширину гауссиана и τ = m/α2ħ.
Первоначальное положение и импульсы некоррелированы. Таким образом, в трех измерениях мы ожидаем, что векторы положения и импульса будут в два раза более вероятно расположены перпендикулярно друг другу, чем параллельно.
Однако положение и импульс становятся все более коррелированными по мере того, как состояние эволюционирует во времени, поскольку части распределения дальше от центра соответствуют большему импульсу: асимптотически
Это относительное «сжатие» отражает распространение пакета свободной волны в координатном пространстве.
Действительно, можно показать, что кинетическая энергия частицы становится асимптотически радиальной только в согласии со стандартным квантовомеханическим представлением о ненулевом угловом моменте основного состояния, определяющем независимость от направления:[22]
Потенциал Морзе
[править | править код]Потенциал Морзе используется для аппроксимации колебательной структуры двухатомной молекулы.
Квантовое туннелирование
[править | править код]Туннелирование — это ключевой квантовый эффект, когда квантовая частица, не обладающая достаточной энергией для пролёта выше барьера, все же проходит через него. Этот эффект не существует в классической механике.
Потенциал четвёртой степени
[править | править код]Состояние кота Шрёдингера
[править | править код]![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/e2/Wigner_function_of_a_Schr%C3%B6dinger_cat_state.gif/400px-Wigner_function_of_a_Schr%C3%B6dinger_cat_state.gif)
Ссылки
[править | править код]- ↑ 1 2 3 H.J. Groenewold, «On the Principles of elementary quantum mechanics», Physica,12 (1946) pp. 405—460. doi:10.1016/S0031-8914(46)80059-4
- ↑ 1 2 3 4 J.E. Moyal, «Quantum mechanics as a statistical theory», Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, 45 (1949) pp. 99-124. doi:10.1017/S0305004100000487
- ↑ H.Weyl, «Quantenmechanik und Gruppentheorie», Zeitschrift für Physik, 46 (1927) pp. 1-46, doi:10.1007/BF02055756
- ↑ E.P. Wigner, «On the quantum correction for thermodynamic equilibrium», Phys.
- ↑ S. T. Ali, M. Engliš, «Quantization Methods: A Guide for Physicists and Analysts.»
- ↑ 1 2 Curtright, T. L. Quantum Mechanics in Phase Space (неопр.) // Asia Pacific Physics Newsletter. — 2012. — Т. 01. — С. 37. — doi:10.1142/S2251158X12000069. — arXiv:1104.5269.
- ↑ 1 2 C. Zachos, D. Fairlie, and T. Curtright, «Quantum Mechanics in Phase Space» (World Scientific, Singapore, 2005) ISBN 978-981-238-384-6.
- ↑ Cohen, L. Generalized Phase-Space Distribution Functions (англ.) // Journal of Mathematical Physics : journal. — 1966. — Vol. 7, no. 5. — P. 781—781. — doi:10.1063/1.1931206. — .
- ↑ 1 2 3 G. S. Agarwal and E. Wolf "Calculus for Functions of Noncommuting Operators and General Phase-Space Methods in Quantum Mechanics.
- ↑ E. C. G. Sudarshan «Equivalence of Semiclassical and Quantum Mechanical Descriptions of Statistical Light Beams», Phys.
- ↑ R. J. Glauber «Coherent and Incoherent States of the Radiation Field», Phys.
- ↑ Kôdi Husimi (1940).
- ↑ K. E. Cahill and R. J. Glauber «Ordered Expansions in Boson Amplitude Operators», Phys.
- ↑ M. Lax "Quantum Noise.
- ↑ G. Baker, "Formulation of Quantum Mechanics Based on the Quasi-probability Distribution Induced on Phase Space, " Physical Review, 109 (1958) pp.2198-2206. doi:10.1103/PhysRev.109.2198
- ↑ Fairlie, D. B. The formulation of quantum mechanics in terms of phase space functions (англ.) // Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society[англ.] : journal. — 1964. — Vol. 60, no. 3. — P. 581. — doi:10.1017/S0305004100038068. — .
- ↑ 1 2 Curtright, T.; Fairlie, D.; Zachos, C. Features of time-independent Wigner functions (англ.) // Physical Review D : journal. — 1998. — Vol. 58, no. 2. — doi:10.1103/PhysRevD.58.025002. — . — arXiv:hep-th/9711183.
- ↑ C. L. Mehta «Phase‐Space Formulation of the Dynamics of Canonical Variables», J. Math. Phys.,5 (1964) pp. 677—686. doi:10.1063/1.1704163
- ↑ M. S. Marinov, A new type of phase-space path integral Архивная копия от 24 сентября 2015 на Wayback Machine, Phys. Lett. A 153, 5 (1991).
- ↑ M. I. Krivoruchenko, A. Faessler, Weyl’s symbols of Heisenberg operators of canonical coordinates and momenta as quantum characteristics, J. Math. Phys. 48, 052107 (2007) doi:10.1063/1.2735816.
- ↑ Curtright, T. L. Time-dependent Wigner Functions Архивная копия от 27 октября 2020 на Wayback Machine
- ↑ J. P. Dahl and W. P. Schleich, «Concepts of radial and angular kinetic energies», Phys. Rev. A,65 (2002). doi:10.1103/PhysRevA.65.022109