Математические основы квантовой механики (Bgmybgmncyvtny kvukfd tfgumkfkw by]guntn)

Математические основы квантовой механики — принятый в квантовой механике способ математического моделирования квантовомеханических явлений, позволяющий вычислять численные значения наблюдаемых в квантовой механике величин. Были созданы Луи де-Бройлем (открытие волн материи), В. Гейзенбергом (создание матричной механики, открытие принципа неопределённости), Э. Шрёдингером (уравнение Шрёдингера), Н. Бором (формулировка принципа дополнительности). Завершил создание математических основ квантовой механики и придал им современную форму П. А. М. Дирак. Отличительным признаком математических уравнений квантовой механики является наличие в них символа постоянной Планка.

Наблюдаемые величины и векторы состояний

В качестве основных характеристик для описания физических систем в квантовой механике используются наблюдаемые величины и состояния.

Наблюдаемые величины моделируются линейными самосопряжёнными операторами в комплексном сепарабельном гильбертовом пространстве (пространстве состояний). Каждой физической величине соответствует линейный эрмитов оператор или матрица. Например, радиусу-вектору частицы $x$ соответствует оператор умножения $x$, импульсу частицы соответствует оператор ${\hat {p}}=-i\hbar \nabla$, моменту импульса соответствует оператор

$\hbar {\hat {L}}={\hat {x}}\times {\hat {p}}=-i\hbar \times \nabla .$

Состояния моделируются классами нормированных элементов этого пространства (векторами состояний), отличающимися друг от друга только комплексным множителем, с единичным модулем (нормированные волновые функции).

Волновые функции удовлетворяют квантовому принципу суперпозиции: если два возможных состояния изображаются волновыми функциями $\psi _{1}$ и $\psi _{2}$, то существует и третье состояние, изображаемое волновой функцией

$\psi =c_{1}\psi _{1}+c_{2}\psi _{2},$

где $c_{1}$ и $c_{2}$ -произвольные амплитуды.

Результатом точного измерения физической величины $A$ могут быть только собственные значения этого оператора ${\widehat {A}}$.

Математическое ожидание ${\overline {A}}$ значений величины $A$ в состоянии $\psi$ вычисляется как ${\overline {A}}=(\psi ,{\widehat {A}}\psi )$. Здесь круглые скобки означают скалярное произведение векторов (в матричном представлении — диагональный матричный элемент).

Векторы состояний $\psi _{1}$ и $\psi _{2}$ описывают одно и то же состояние тогда и только тогда, когда $\psi _{2}=c\psi _{1},$ где $c$ — произвольное комплексное число. Каждой наблюдаемой однозначно сопоставляется линейный самосопряженный оператор. Распределение вероятности возможных значений наблюдаемой величины $A$ в состоянии $\psi$ задаются мерой:

$dm_{{\widehat {A}},\psi }(a)=d(E_{a}\psi ,\psi ),$

где ${\widehat {A}}$ — самосопряжённый оператор, отвечающий наблюдаемой величине $a$, $\psi$ — вектор состояния, $E_{a}$ — спектральная функция оператора ${\widehat {A}}$, круглые скобки означают скалярное произведение векторов. Наблюдаемые величины и векторы состояния можно подвергнуть произвольному унитарному преобразованию

$\psi \rightarrow U\psi ,A\rightarrow UAU^{-1}.$

В этом случае любая имеющий смысл физическая величина $(A\psi ,\psi )$ не изменяется. Наблюдаемые одновременно измеримы тогда и только тогда, когда соответствующие им самосопряженные операторы перестановочны (коммутируют).

Полный набор совместно наблюдаемых величин

Совместно наблюдаемыми величинами называются величины, которые можно одновременно измерить. Совокупность операторов $A_{i},i=1,...k$ образует полный набор совместно наблюдаемых величин, если выполняются условия коммутативности ($\left[A_{i},A_{j}\right]=0$ для всех $i,j=1,...k$), взаимной независимости (ни один из операторов $A_{i}$ не может быть представлен в виде функции от остальных), полноты (не существует оператора, коммутирующего со всеми $A_{i}$ и не являющегося функцией от них). Для данного набора величин пространство состояний может быть реализовано как пространство функций $\psi (a_{1},...a_{k})$ со скалярным произведением:

$(\psi _{1},\psi _{2})=\int \psi _{1}(a_{1},...a_{k}){\overline {\psi _{2}(a_{1},...a_{k})}}d\mu (a_{1},...a_{k}).$

Операторы $A_{i}$ являются операторами умножения на соответствующие переменные:

$A_{i}\psi (a_{1},...a_{k})=a_{i}\psi (a_{1},...a_{k}).$

Совместное распределение значений наблюдаемых:

$P(a_{1},...a_{k})=\left|\psi (a_{1},...a_{k})\right|^{2}d\mu (a_{1},...a_{k}).$

Пространство состояний и вектор наблюдаемых для частицы

В случае частицы в трёхмерном пространстве $x=(x_{1},x_{2},x_{3})$ наблюдаемыми величинами являются координаты $Q_{1},Q_{2},Q_{3}$ и импульсы $P_{1},P_{2},P_{3}$.

В представлении Шрёдингера (приспособленном к координатам) пространство состояний образуют квадратично интегрируемые функции $\psi (x)$ со скалярным произведением:

$(\psi _{1},\psi _{2})=\int \psi _{1}(x){\overline {\psi _{2}(x)}}dx.$

Операторы координат представляют собой операторы умножения:

${\widehat {x_{j}}}\psi (x)=x_{j}\psi (x),j=1,2,3.$

Операторы импульсов представляют собой операторы дифференцирования:

${\widehat {p_{j}}}\psi (x)=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\psi (x),j=1,2,3.$

Соотношения коммутации

Операторы декартовых координат ${\widehat {x_{i}}}$ и операторы импульсов ${\widehat {p_{i}}}$ удовлетворяют соотношениям коммутации:

$\left[{\widehat {p_{i}}},{\widehat {x_{k}}}\right]=-i\hbar \delta _{ik},$

$\left[{\widehat {p_{i}}},{\widehat {p_{k}}}\right]=0,$

$\left[{\widehat {x_{i}}},{\widehat {x_{k}}}\right]=0.$

Здесь $\hbar$ — постоянная Планка.

Уравнения Гамильтона

Матричные элементы операторов декартовых координат ${\widehat {x_{i}}}$ и операторов импульсов ${\widehat {p_{i}}}$ удовлетворяют уравнениям, аналогичным уравнениям Гамильтона в классической механике:

${\frac {d}{dt}}(f,{\widehat {p_{i}}}g)=-(f,{\frac {\partial {\widehat {H}}}{\partial {\widehat {x_{i}}}}}g),$

${\frac {d}{dt}}(f,{\widehat {x_{i}}}g)=(f,{\frac {\partial {\widehat {H}}}{\partial {\widehat {p_{i}}}}}g).$

Здесь ${\widehat {H}}$ — оператор, соответствующий функции Гамильтона в классической механике.

Уравнение Шрёдингера

Эволюция чистого состояния гамильтоновой системы во времени определяется нестационарным уравнением Шрёдингера

$i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}={\hat {H}}\psi ,$

где ${\hat {H}}$ — гамильтониан:

${\hat {H}}=-{\frac {{\hbar }^{2}}{2m}}{\left({\frac {{{\partial }^{2}}{}}{{{\partial }x}^{2}}}+{\frac {{{\partial }^{2}}{}}{{{\partial }y}^{2}}}+{\frac {{{\partial }^{2}}{}}{{{\partial }z}^{2}}}\right)}+{{\hat {E}}_{\rm {pot}}}.$

Стационарные, то есть не меняющиеся со временем состояния, определяются стационарным уравнением Шрёдингера:

${{\hat {H}}{\psi }}={E{\psi }}.$

При этом также предполагается, что эволюция квантовой системы является марковским процессом, а число частиц постоянно. Эти положения позволяют создать математический аппарат, пригодный для описания широкого спектра задач в квантовой механике гамильтоновых систем, находящихся в чистых состояниях. Дальнейшим развитием этого аппарата является квантовая теория поля, в которой обычно описываются квантовые процессы с переменным числом частиц. Для описания состояний открытых, негамильтоновых и диссипативных квантовых систем используется матрица плотности, а для описания эволюции таких систем применяется уравнение Линдблада. Для описания квантовых немарковских процессов обычно предлагаются различные обобщения уравнения Линдблада.

Принцип тождественности

В любой паре одинаковых элементарных частиц можно поменять местами элементарные частицы без возникновения физически нового состояния. Математически принцип тождественности означает условие на собственные значения $\lambda =\pm 1$ оператора перестановки $P_{kj}$: $P_{kj}\psi =\lambda \psi$.

Состояния с $\lambda =-1$ являются антисимметричными (фермионы с полуцелым спином), c $\lambda =+1$ являются симметричными (бозоны с целым спином).

См. также

• Оператор (физика)
• Гейзенберговское представление операторов
• Алгебраическая квантовая теория
• Волновая функция
• Операторы
• Оператор Гамильтона
• Уравнение Шрёдингера
• Представление Шрёдингера
• Представление Гейзенберга
• Уравнение Паули
• Уравнение Дирака
• Вторичное квантование

Литература

• Дирак П. А. М. Принципы квантовой механики. — М.: Наука, 1979. — 409 с.
• Боголюбов Н. Н., Логунов А. А., Тодоров И. Т. Основы аксиоматического подхода в квантовой теории поля. М.: Наука, 1969. 424с.
• Боголюбов Н. Н., Логунов А. А., Оксак А. И., Тодоров И. Т. Общие принципы квантовой теории поля. М.: Наука, 1987. 616с.
• Браттели У., Робинсон Д. Операторные алгебры и квантовая статистическая механика. М.: Мир, 1982. 512с.
• Дж. фон Нейман Математические основы квантовой механики, М.: Наука 1964.
• Эмх Ж. Алгебраические методы в статистической механике и квантовой теории поля. М.: Мир, 1976. 424с.
• Холево А. С. Вероятностные и статистические аспекты квантовой теории. М.: Наука, 1980. 320с.
• Холево А. С. Статистическая структура квантовой теории. Москва, Ижевск: РХД 2003. 188с.
• Сарданашвили Г. А. Современные методы теории поля. 3. Алгебраическая квантовая теория. Москва: УРСС 1999. 214с.
• Елютин П. В., Кривченков В. Д. Квантовая механика с задачами. — М.: Наука, 1976. — 336 с.
• Блохинцев Д. И. Основы квантовой механики. — М.: Высшая школа, 1963. — 520 с.
• Макки Дж. Лекции по математическим основам квантовой механики. — М.: Мир, 1965. — 220 с.