Полулокально односвязное пространство (Hklrlktgl,uk k;ukvfx[uky hjkvmjguvmfk)

Перейти к навигации Перейти к поиску
Гавайская серьга — пример не полулокально односвязного пространства.

Полулокально односвязные пространства образуют класс топологических пространств важный в теории накрытий. Для таких пространств существует универсальное накрытие и соответствие Галуа между накрытиями пространств и подгруппами фундаментальной группы.

Многообразия, СW комплексы являются полулокально односвязными. Не полулокально односвязные пространства (например Гавайская серьга) считаются патологическими примерами.

Определение

[править | править код]

Топологическое пространство Х называется полулокально односвязным, если каждая точка в Х имеет окрестность U такую, что каждая петля в U может быть стянута к точке в Х.

  • Сама окрестность U не обязана быть односвязной — хотя каждый цикл в U стягивается в Х, он не обязан стягиваться в U
    • По этой причине пространство может быть полулокально односвязным не будучи локально односвязным.
  • Следующее условие эквивалентно: каждая точка в Х имеет окрестность U, для которой гомоморфизм от фундаментальной группы U в фундаментальной группе Х, индуцированной включением U в Х, тривиален.
  • Гавайская серьга — классический пример не полулокально односвязного пространства.
Неодносвязное пространство с тривиальным универсальным накрытием.
  • Конус над гавайской серьгой даёт пример стягиваемого пространства (в частности односвязного и полулокально односвязного), но не локально односвязного.
    • Пространство, склеенное из двух копий такого конуса по одной точке на основании которого кольца серьги касаются друг друга, даёт пример неодносвязного пространства с тривиальным универсальным накрытием. То есть фундаментальная группа пространства нетривиально, но при этом само пространство допускает только тривиальное накрытие.