Огранка (геометрия) (Kijgutg (iykbymjnx))

Перейти к навигации Перейти к поиску


Звёздчатый октаэдр как огранка куба

В геометрии огранка — это процесс удаления части многоугольника или многогранника без создания новых вершин.

Новые рёбра огранённого многогранника могут быть созданы вдоль диагоналей граней[англ.] или внутренних диагоналей[англ.]. Огранённый многогранник будет иметь две грани для каждого ребра и является новым многогранником или соединением многогранников.

Огранка является обратным или двойственным образованию звёздчатой формы. Для каждой звёздчатой формы некоторого выпуклого многогранника существует двойственная огранка двойственного многогранника.

Огранённые многоугольники

[править | править код]

Например, правильный пятиугольник имеет одну симметричную огранку, пентаграммы, а правильный шестиугольник имеет две симметричные огранки, одна из них — многоугольник, а другая является соединением двух треугольников.

Выпуклые
Правильный пятиугольник
{5}
Правильный шестиугольник
{6}
Правильные Квазиправильные Правильные соединения
Пентаграмма
{5/2}
Звёздчатый шестиугольник гексаграмма
{6/2}

Огранённые многогранники

[править | править код]

Правильный икосаэдр может быть огранён до трёх правильных многогранников Кеплера — Пуансо — малого звёздчатого додекаэдра, большого додекаэдра и большого икосаэдра. Они имеют 30 рёбер.

Выпуклые Правильные звёзды
икосаэдр Большой додекаэдр Малый звёздчатый додекаэдр Большой икосаэдр

Правильный додекаэдр может быть огранён до одного правильного многогранника Кеплера — Пуансо, трёх однородных звёздчатых многогранников и трёх соединений многогранников. Однородные звёзды и соединение пяти кубов[англ.] строятся на диагоналях граней[англ.]. Выемчатый додекаэдр[англ.] является огранкой со звёздчатыми октаграммными гранями.

Выпуклые Правильные звёзды Однородные звёзды Вершинно транзитивные
додекаэдр большой звёздчатый додекаэдр Малый битригональный икосододекаэдр[англ.] Битригональный додекаэдр[англ.] Большой битигональный икосододекаэдр[англ.] Выемчатый додекаэдр[англ.]
Выпуклые Правильные соединения
додекаэдр пять тетраэдров пять кубов[англ.] десять тетраэдров[англ.]

Огранка изучалась не столь интенсивно, как образование звёздчатой формы.

Примечания

[править | править код]

Литература

[править | править код]
  • J. Bertrand. Note sur la théorie des polyèdres réguliers // Comptes rendus des séances de l'Académie des Sciences. — 1858. — Т. 46. — С. 79—82.
  • N. J. Bridge. Facetting the dodecahedron // Acta crystallographica. — 1974. — Т. A30. — С. 548—552.
  • G. Inchbald. Facetting diagrams // The mathematical gazette. — 2006. — Т. 90. — С. 253—261.
  • Alan Holden. Shapes, Space, and Symmetry. — New York: Dover, 1991. — Т. 94.