Обратный оператор (KQjgmudw khyjgmkj)
Обратный оператор к оператору — оператор, который каждому из множества значений оператора ставит в соответствие единственный элемент из области определения оператора , являющийся решением уравнения . Если оператор имеет обратный, то есть уравнение имеет единственное решение при любом из , то называется обратимым. Обратный оператор обозначается [1].
Определение и условия существования
[править | править код]Другое определение: оператор называется обратным к оператору , если , где — единичный оператор. Если выполняется только соотношение или только то оператор называется левым обратным или правым обратным соответственно. Если оператор имеет левый обратный и правый обратный, то они равны между собой, а оператор является обратимым[2]. Если обратный оператор существует, он определяется единственным образом[3].
Оператор обратим, если он отображает на взаимно однозначно, то есть при различных принимает различные значения .[4] Если оператор — линейный, то для существования обратного оператора достаточно, чтобы выполнялось только при [5].
Линейный оператор (даже ограниченный) может иметь обратный, определённый не на всём пространстве. Например, в пространстве линейный оператор
имеет обратный, который определен для векторов с первой координатой равной нулю: [5].
Свойства
[править | править код]- [6]
- [3]
- Оператор , обратный к линейному оператору, также линеен.[1]
- , — сопряжённый оператор[7].
Теоремы об обратном операторе
[править | править код]Теорема Банаха
[править | править код]
Пусть — линейный ограниченный оператор, взаимно однозначно отображающий банахово пространство на банахово пространство . Тогда обратный оператор ограничен. |
Теорема Банаха является одним из основных принципов линейного анализа[8]. Из неё следует теорема об открытом отображении: линейное непрерывное отображение банахова пространства на (всё) банахово пространство открыто[9].
Достаточные условия существования обратного оператора
[править | править код]- Пусть линейный оператор , отображающий линейное нормированное пространство на линейное нормированное пространство , удовлетворяет для любого условию
где — некоторая константа. Тогда существует обратный ограниченный линейный оператор [10].
- Пусть — линейный ограниченный обратимый оператор, действующий из банахова пространства в банахово пространство и — линейный ограниченный оператор из в такой, что . Тогда оператор имеет ограниченный обратный, причём
- Пусть — банахово пространство, — тождественный оператор в , а — такой линейный ограниченный оператор, отображающий в себя, что . Тогда оператор существует, ограничен и представляется в виде ряда
- [13].
Примеры
[править | править код]Преобразование Фурье
[править | править код]можно рассматривать как линейный ограниченный оператор, действующим из пространства в себя. Обратным оператором для него является обратное преобразование Фурье
- [14].
Операторы интегрирования и дифференцирования
[править | править код]Для оператора интегрирования
действующего в пространстве непрерывных функций , обратным будет оператор дифференцирования:
определённый на линейном многообразии непрерывно дифференцируемых функций, таких что [15].
Оператор Штурма-Лиувилля
[править | править код]Для дифференциального оператора Штурма-Лиувилля определённого на линейном многообразии дважды непрерывно дифференцируемых функций таких, что , обратным оператором является интегральный оператор
где — функция Грина. — линейный ограниченный оператор в [15].
Интегральный оператор
[править | править код]Пусть
— интегральный оператор в пространстве непрерывных функций . При достаточно малых значениях параметра оператор (где — единичный оператор) имеет ограниченный обратный
- ,
где — резольвента ядра . Зная резольвенту, можно найти решение интегрального уравнения
при любом свободном члене [16].
Обратный оператор в конечномерном пространстве
[править | править код]Оператор в конечномерном пространстве обратим тогда и только тогда, когда его ранг совпадает с размерностью пространства. Иначе говоря, определитель его матрицы отличен от нуля. Обратному оператору отвечает обратная матрица[17].
См. также
[править | править код]- Линейное отображение
- Обратная функция
- Изоморфизм
- Банахово пространство
- Линейный непрерывный оператор
Примечания
[править | править код]- ↑ 1 2 Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа, 1976, с. 225.
- ↑ Люстерник Л. А., Соболев В. И. Элементы функционального анализа, 1965, с. 128.
- ↑ 1 2 Рисс Ф., Сёкефальви-Надь Б. Лекции по функциональному анализу, 1979, с. 168.
- ↑ Люстерник Л. А., Соболев В. И. Элементы функционального анализа, 1965, с. 351.
- ↑ 1 2 Рисс Ф., Сёкефальви-Надь Б. Лекции по функциональному анализу, 1979, с. 319.
- ↑ Люстерник Л. А., Соболев В. И. Элементы функционального анализа, 1965, с. 154.
- ↑ Люстерник Л. А., Соболев В. И. Элементы функционального анализа, 1965, с. 207.
- ↑ Хелемский А. Я. Линейный оператор // Математическая энциклопедия : [в 5 т.] / Гл. ред. И. М. Виноградов. — М.: Советская энциклопедия, 1982. — Т. 3: Коо — Од. — 1184 стб. : ил. — 150 000 экз.
- ↑ Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа, 1976, глава IV, §5, п. 4.
- ↑ Люстерник Л. А., Соболев В. И. Элементы функционального анализа, 1965, с. 155.
- ↑ Люстерник Л. А., Соболев В. И. Элементы функционального анализа, 1965, с. 157.
- ↑ Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа, 1976, с. 229.
- ↑ Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа, 1976, с. 230.
- ↑ Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа, 1976, глава VIII.
- ↑ 1 2 Люстерник Л. А., Соболев В. И. Элементы функционального анализа, 1965, с. 161.
- ↑ Люстерник Л. А., Соболев В. И. Элементы функционального анализа, 1965, с. 163.
- ↑ Ильин В. А., Позняк Э. Г. Линейная алгебра. Учеб. для вузов. — 5-e изд.. — М.: Физматлит, 2002. — 320 с. — ISBN 5-9221-0129-3.
Литература
[править | править код]- Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит.. — М., 1976.
- Люстерник Л. А., Соболев В. И. Элементы функционального анализа. — Изд. 2-е, перераб.. — М.: Наука, 1965. — 520 с.
- Рисс Ф., Сёкефальви-Надь Б. Лекции по функциональному анализу. — М.: Мир, 1979. — 592 с.
- Соболев В. И. Обратное отображение // Математическая энциклопедия : [в 5 т.] / Гл. ред. И. М. Виноградов. — М.: Советская энциклопедия, 1982. — Т. 3: Коо — Од. — 1184 стб. : ил. — 150 000 экз.