Линейный непрерывный оператор (Lnuywudw uyhjyjdfudw khyjgmkj)

Запрос «Ограниченный линейный оператор» перенаправляется сюда; об определении ограниченности см. операторная норма.

Линейный непрерывный оператор $A:X\rightarrow Y$, действующий из линейного топологического пространства X в линейное топологическое пространство Y — это линейное отображение из X в Y, обладающее свойством непрерывности.

Термин «линейный непрерывный оператор» обычно употребляют в случае, когда Y многомерно. Если Y одномерно, т.е. совпадает с самими полем ($\mathbb {R}$ или $\mathbb {C}$), то принято использовать термин линейный непрерывный функционал. Множество всех линейных непрерывных операторов из X в Y обозначается $L(X,Y)$.

В теории нормированных пространств линейные непрерывные операторы более известны как ограниченные линейные по нижеизложенной причине. Теория линейных непрерывных операторов играет важную роль в функциональном анализе, математической физике и вычислительной математике.

Свойства

• Если X конечномерно, то любой линейный оператор непрерывен.
• Непрерывность линейного оператора в нуле равносильна его непрерывности в любой другой точке (и, следовательно, во всём X).
• Для нормированных пространств условия непрерывности и ограниченности (т.е. конечности операторной нормы) равносильны.. В общем случае из непрерывности линейного оператора следует ограниченность, но обратное верно не всегда.
• Если X и Y — банаховы пространства, и образ оператора $A\in L(X,Y)$ совпадает с пространством Y, то существует обратный оператор $A^{-1}\in L(Y,X)$ (т.н. теорема об обратном операторе).
• Множество всех линейных непрерывных операторов из X в Y само является линейным топологическим пространством. Если X и Y нормированы, то $L(X,Y)$ также нормировано операторной нормой. Если Y — банахово, то и $L(X,Y)$ является таковым, независимо от полноты X.

Свойства линейного непрерывного оператора сильно зависят от свойств пространств X и Y. Например, если X — конечномерное пространство, то оператор $A\in L(X,Y)$ будет вполне непрерывным оператором, область его значений $R(A)$ будет конечномерным линейным подпространством, и каждый такой оператор можно представить в виде матрицы.

Непрерывность и сходящиеся последовательности

Линейный оператор $A:X\rightarrow Y$, действующий из линейного топологического пространства X в линейное топологическое пространство Y, непрерывен тогда и только тогда, когда для любой последовательности $\{x_{n}\}$ точек X, из $x_{n}\rightarrow x_{0}$ следует $Ax_{n}\rightarrow Ax_{0}$.

Пусть ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }x_{n}=s$ сходится и $A:X\rightarrow Y$ — линейный непрерывный оператор. Тогда справедливо равенство

$\sum \limits _{n=1}^{\infty }Ax_{n}=As$.

Это означает, что к сходящимся рядам в линейных топологических пространствах непрерывный линейный оператор можно применять почленно.

Если X, Y — банаховы пространства, то непрерывный оператор переводит каждую слабо сходящуюся последовательность в слабо сходящуюся:

если $x_{n}\to x$ слабо, то $Ax_{n}\to Ax$ слабо.

Связанные определения

• Линейный оператор называется ограниченным снизу, если $\exists k>0,\forall x\in X,\|Ax\|\geq k\|x\|$.

См. также

• Сопряжённый оператор

Литература

• Треногин В. А. Функциональный анализ. — М.: Наука, 1980. — 495 с.
• Халмош П. Конечномерные векторные пространства = Finite-dimensional vector spaces. — М.: Физматгиз, 1963. — 264 с.
• Шилов Г.Е. Математический анализ (функции одного переменного), часть 3. — М.: Наука, 1970. — 352 с.